二次根式知识方法题型总结 一、本章知识内容归纳 1.概念: ①二次根式——形如 的式子;当 时有意义,当 时无意义; ②最简二次根式——根号中不含 和 的二次根式; ③同类二次根式—— 的二次根式; 2.性质:①非负性; ②; ③ (字母从根号中开出来时要带绝对值 再根据具体情况判断是否需要讨论) 3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式,且无可合并的同类二次根式. ①乘法和积的算术平方根可互相转化:; ②除法和商的算术平方根可互相转化: ③加减法:先化为最简二次根式,然后合并同类二次根式; ④混合运算:有理式中的运算顺序,运算律和乘法公式等仍然适用; ⑤乘法公式的推广: 二、本章常用方法归纳 方法1.开方 ①偶数次方:; ②奇数次方: 方法2.分母有理化: ①概念:分母有理化就是通过 使得 其中 叫做该分母的有理化因式; ②常用的有理化因式: 与、与、与互为有理化因式; ③分母有理化步骤: 先将二次根式尽量化简,找分母最简有理化因式; 将计算结果化为最简二次根式的形式。 方法3. 非0的二次根式的倒数 ①的倒数:(a 0); ②的倒数:(a 0, b 0); ③※因为 , 所以的倒数为 ; 方法4. 利用“”外的因数化简“” ①; ②; 三、本章典型题型归纳 (一)二次根式的概念和性质 1.x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义? (1)-; (2)-; (3); 2.若x、y为实数,y=++3.则= 3.根据下列条件,求字母x的取值范围: (1); (2); (3)=1-x ; (4)※=1 ; 4.已知++=0. 则a= , b= , c= . 5.已知,则=______________ 6.在实数范围内因式分解:x4-4=______________. 7.已知a,b,c为三角形的三边, 则= 8.若最简二次根式与最简二次根式可以合并,则的取值为 ※9.已知a 0,化简二次根式 = ※10.把根号外的因式移到根号内,得 (二)二次根式的运算 11.乘除法口算: (1)= (3)= (5)= (2)= (4)= (6)= (7) = (9)= (11)= (8)= (10)= (12)= (13)= (15)= (14)= 12. 计算:(能简算的要简算) (1). (2)+(-1)3-2× (3) (4) (5) (6) (7) (8)) (9) -―+(a>0,b>0) (10) ※(11) 13. 若的整数部分是a,小数部分是b,则 14.在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是___________ 15.若一个正方体的长为,宽为,高为,则它的体积为 . ※16.的关系是 17.甲、乙两人对题目“化简并求值:,其中”有不同的解答: 甲的解答:, 乙的解答:。 谁的解答是错误的?为什么? ※18. 先观察下列分母有理化:,从计算结果中找出规律,再利用这一规律计算下列式子的值: 19. 观察下列各式的特点: ,,,…… (1)请根据以上规律填空 (2)请根据以上规律写出第个不等式,并证明你的结论. ※(3)计算下列算式: = (三)二次根式的化简求值 20.若,求的值。 21.若求的值。 22.已知,求的值。 23.已知,,求下列各式的近似值(精确到0.01): (1); (2); (3). (四)二次根式的比较大小 24.比较下列个数的大小 (1)3与(平方法) (2)-5与-6(被开方数) (3)与(分母有理化) (4)-与-(倒数法) (5) 与(设参数比较) (6) 与(分子有理化) (7)已知:是正数,求证: (五)二次根式的应用 25.在交通事故的处理中,交通警察往往用公式来判断该车是否超速,其中表示车速(单位km/s),表示刹车后车轮划过的距离(单位:),表示摩擦系数;某日,在一段限速60km/s的公路上,发生了一起两车追尾的事故,警察赶到后,经过测量,得出其中一辆车的,,请问该车超速了吗? 26.我们人体含有多少脂肪才算适当?据科学研究表明,可以利用身体的体重(,单位:千克)和身高(,单位:米)来计算身体脂肪水平,也称为身体质量指数(BMI).计算公式是BMI=,而且男性的BMI指数范围是24~27,如果一位男生体重是70千克,身体脂肪属于正常,那么请你估计他的身高大约在哪个范围内?(精确到0.01米). 27.谈祥柏是中国人民解放军军医大学数学教授,有一次他将我国近代著名作家徐志摩《再别康桥》中的两句组成了如下的等式组: ,这里相同的汉字表示0,1,……,9中相同的数字,不同的汉字表示不同数字,你能利用所学知识破解它吗? 28.某人用一架不等臂天平称一块铁的质量,把铁块放在天平左盘时,称得它的质量为300克;把铁块放在天平右盘时,称得它的质量为900克,利用所学知识,求这块铁的实际质量 29.有一块木板,如图,请你把它切成三块, 然后拼成一个正方形的桌面。 30.设等腰三角形的腰长为a,底边长为b,底边上的高为h. (1)如果a=2,b=,求h; (2)如果b=,h=2,求a. 31.某市为方便相距2km的A、B两处居民区的交往,修筑一条笔直的公路(如图:AB),经测量,在A处的北偏东60°方向,B处北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园,问计划修筑的公路会不会穿过公园?请说明理由。 ※32.设三所学校A,B,C分别位于一个等边三角形的三个顶点处,现值网络时代,要在三个学校之间铺设通讯电缆,小张同学设计了三种连接方案,如图所示,方案甲:AB+BC;方案乙:AD+BC(D为BC中点);方案丙:AO+BO+CO(O为三角形三条高的交点),请你帮助计算一下哪种方案线路最短? ※33.一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群,在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向,40分钟后,渔船行至B处,此时看见小岛C在船的北偏东30°方向,已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区,问这艘渔船继续向东追赶鱼群,是否有进入危险区域的可能? 60° 45° B A C
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