二次函数综合题 1、已知抛物线经过A(-1,0)点 切经过直线与坐标轴的两个交点B,C。 求抛物线的解析式; 求抛物线的顶点坐标; 若点M在第四象限内的抛物线上,且OM⊥BC,垂足为D,求点M的坐标. 2、已知开口向下的抛物线, 与x轴交于A(,0),B(,0)( ﹤)两点,与y轴交于C(0,5)点,若a+b+c=0且S△ABC=15, 求抛物线的解析式. 3、 如图所示,已知抛物与x轴负半轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且,求抛物线的解析式和它的顶点坐标. 4、已知直线y=-2x+b(b≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y=x2-(b+10)x+c. ⑴若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y=-2x+b上,试确定这条抛物线的解析式; ⑵过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y=-2x+b的解析式. 5、已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下,与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点,其中xl x2. (1)求m的取值范围; (2)若x12+ x22=10,求抛物线的解析式。 6、如图,等腰梯形ABCD的边BC在x轴上,点A在y轴的正方向上,A( 0,6 ),D ( 4,6),且AB=2 (1)求点B的坐标;(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中所求的抛物线上是否存在一点P,使得S△PBD=S梯形ABCD。若存在,请求出该点坐标,若不存在,请说明理由. 7、数学活动小组接受学校的一项任务:在紧靠围墙的空地上,利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一块生物园地,请设计一个方案使生物园的面积可能大。 (1)活动小组提交如图的方案。设靠墙的一边长为 x 米,则不靠墙的一边长为(60-2x)米,面积y= (60-2x) x米2.当x=15时,y最大值 =450米2。 (2)机灵的小明想:如果改变生物园的形状,围成的面积会更大吗?请你帮小明设计两个方案,要求画出图形,算出面积大小;并找出面积最大的方案. 8、已知二次函数的图象经过点A(-3,6),并与轴交于B、C两点(点B在C的左边),P为它的顶点. (1)试确定的值; (2)设点D为线段OC上的一点,且满足,求直线AD的解析式; (3)在轴的正半轴上是否存在点M,使为等腰三角形,若存在,求出所有满足条件的点M的坐标,若不存在,请说明理由. 9、已知:以直线为对称轴的抛物线与轴交于、两点(点在点的左边),且经过点和. 点在抛物线的顶点的右侧的半支上(包括顶点),在轴上有一点使是等腰三角形,. (1)若是直角,求点的坐标; (2)当点移动时,过点作轴的垂线,交直线于点,设的面积为,求关于的函数解析式和自变量的取值范围。 10、(2007四川成都)在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象与轴交于两点(点在点的左边),与轴交于点,其顶点的横坐标为1,且过点和. (1)求此二次函数的表达式; (2)若直线与线段交于点(不与点重合),则是否存在这样的直线,使得以为顶点的三角形与相似?若存在,求出该直线的函数表达式及点的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角与的大小(不必证明),并写出此时点的横坐标的取值范围. 11、如图,已知二次函数图象顶点为C(1,0),直线与该二次函数交于A,B两点,其中A点(3,4),B点在y轴上,(1)求m值及这个二次函数关系式;(2)P为线段AB上一动点(P不与A,B重合),过P做x轴垂线与二次函数交于点E,设线段PE长为h,点P横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x取值范围;(3)D为AB线段与二次函数对称轴的的交点,在AB上是否存在一点P,使四边形DCEP为平行四边形?若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由。 12、已知:抛物线顶点在直线上,且仅当0﹤x﹤4时,y﹤0,设点A是抛物线与x轴的一个交点,点A在y轴的右侧,P为抛物线上的一个动点, (1)求这个抛物线的解析式;(2)当△POA面积为5时,求点P坐标。(3)当cos∠OPA=时,⊙M经过点O,A,P,求过A点且与⊙M相切的直线解析式 13、在平面直角坐标系xoy中,抛物线经过P(,5),A(0,2)两点。(1)求次抛物线解析式;(2)设抛物线顶点为B,将直线AB沿y轴向下平移两个单位的直线L,直线L与抛物线的对称轴交于C点,求直线的解析式;(3)在(2)的条件下,求到直线OB,OC,BC距离相等的点的坐标。 14.如图,抛物线y=-x2+x-2与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C. (1)求证:△AOC∽△COB; (2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D点P在线段AB上由A向B运动,点Q在线 15.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在轴上,OA=6,OC=10. ⑴如图⑴,在OA上取一点E,将△EOC沿EC折叠,使O点落在AB边上的D点,求E点的坐标; ⑵如图⑵,在OA、OC边上选取适当的点E′、F,将△E′OF沿E′F折叠,使O点落在AB边上的D′点,过D′作D′G∥A′O交E′F于T点,交OC′于G点,求证:TG=A′E′ ⑶在⑵的条件下,设T(,)①探求:与之间的函数关系式.②指出变量的取值范围. 16、如图,矩形A’BC’O’是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上,边OC在y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的.O’点在x轴的正半轴上,B点的坐标为(1,3). (1)如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过O、O’两点且图象顶点M的纵坐标为—1.求这个二次函数的解析式; (2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P,使得ΔPOM为直角三角形?若存在,请求出P点的坐标和ΔPOM的面积;若不存在,请说明理由; (3)求边C’O’所在直线的解析式. 17、如图①,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,二次函数的图象记为抛物线. (1)平移抛物线,使平移后的抛物线过点,但不过点,写出平移后的一个抛物线的函数表达式: . (2)平移抛物线,使平移后的抛物线过两点,记为抛物线,如图②,求抛物线的函数表达式. (3)设抛物线的顶点为,为轴上一点.若,求点的坐标. (4)请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点,使为等腰三角形.若存在,请判断点共有几个可能的位置(保留作图痕迹);若不存在,请说明师. 4 B P E C A Y D X O 1 1 x y x y A C B O D P Q 第15题图(1) B C D E A T C' F' E' B' D' A' G 图① 1 1 图② 1 1 图③ 1 1
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