分类讨论思想（2）
第2讲
一、概述与要点
用分类讨论的思想方法分析、解决问题，有利于培养全面完整考虑问题的习惯和能力.
本讲主要内容：
1、两圆相切的位置关系包括两圆内切和外切.
2、两圆内切时，不知道两圆半径的大小，应考虑圆心.
3、相交两圆的半径已知，公共弦长已知时，两圆圆心与公共弦有两种位置关系：（1）两圆心在公共弦的两旁;（2）两圆心在公共弦的同旁.
4、对图形开放题，要仔细审题，全面思考，切忽遗漏.
二、例题选讲
例1、直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于__________ .（04年上海考题）
分析 8这条边既可看作直角边也可看作斜边，所以这个三角形的外接圆半径有二种可能性.
答：4或5
例2、矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是           （03年上海考题）.
分析 对“相切”条件考虑不周，就出现漏解现象.
解：设圆C的半径为，则由题意得  12
当圆A与圆C外切时，+=13.
 ∴5 13－ 12.
得 1  8.
当圆A与圆C内切时, －=13.
 ∴5 －13 12.
得 18  25.
故r的取值范围是  1  8或18  25.
例3 已知半径分别是17cm和10cm，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB的长是16cm，求圆心距0102的长.
分析 注意对图形位置的讨论，即要分圆心在公共弦的同旁及两旁两种情况.
            	图5－2
解：分两种情况求解
（1）当圆心O1、O2在AB的两旁时，连结01A、O2A（如图5-1）
  ∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，∴0102垂直平分AB，设垂足为C.
 则 AC=8cm，在Rt⊿AO1C中，O1C==15（cm）.
同理，在Rt⊿AC O2中，求得O2C=6（cm）.
∴ 0102=15+6=21（cm）
（2）同理当圆心O1、O2在AB的同旁时（如图5-2）
0102=15－6=9（cm）
∴ 圆心距0102的长为21cm或9cm.
例4 如图5-3，已知AB是圆O的直径，AC是弦，AB=2，AC= ，在图中画出弦AD，使AD=1，并求出∠CAD的度数（98年上海考题）
分析考虑点D的位置，有两种不同的情形.
解：连结BC
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，cos∠CAB=，∴∠CAB=45°.画出AD.
（1）当AD和AC在AB两侧时，如图5-4，连结OD
∵OA＝OD＝AD＝1
∴△OAD是等边三角形，得∠OAD＝60°.
　　　 ∴∠CAD＝∠OAD+∠CAB＝60°+45°=105°.
    (2) 当AD和AC在AB的同侧时，如图5-5，同理∠OAD＝60°，
　　　∴∠CAD ＝∠OAD－∠CAB ＝60°－45°＝15°.
例5、已知直线y=－x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上可移动的点，且点P在点A的左侧，过P作x轴的垂线交y=－x+6于M，有一动圆O′，它与x轴，直线PM和y=－x+6都相切且在x轴上方，且⊙O′与y轴也相切时，求满足上述条件的点P的坐标.
分析 本题是一个运动变化探索题，也是一个图形开放题，从点P的位置移动中找出符合题设条件的三种情况是解决本题的关键. 
解 直线y=－x+6与x轴交点A（6,0），与y轴交点
B（0,6）满足题设条件有以下三种情况：
（1）若直线PM与y轴重合（见图5－6），则⊙O′ 
为△AOB的内切圆，P点坐标为（0，0）
（2） ⊙O′在y轴右侧，PM在⊙O′右侧（见图5－7），设r为⊙O′的半径，AB=6,
点P坐标为
（3）⊙O′在y轴左侧，PM在⊙O′左侧（见图5－8），设r为⊙O′的半径，⊙O′切x轴于C，切PM于D，切AM于E，AP＝MP＝6＋2r，MA＝（6＋2r）
MA=ME+EA=6+r+6+r=12+2r
∴12+2r=(6+2r)·,r=3,即点P坐标为(-6,0) 
三、习题精选
1、在Rt△ABC中，已知两条边长分别为5㎝和12㎝，则第三条边长的________㎝.
2、等腰三角形一个内角是70°，则其余两个内角的度数是__________°.
3、等腰三角形的两条边分别是5㎝和9㎝，那么它的周长是__________cm.
4、如果圆O与圆O’相切，圆O的半径是3，圆心距OO’=5，那么圆O’的半径的_______.
5、已知两圆内切，一个圆心半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是_____.
6、⊙O与 ⊙O’相交于点A、B， ⊙O的半径为15　cm，⊙O’  半径为13cm，AB=24cm，求OO’的长.
7、在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=2,AC=4,O是AC的中点，以R为半径作⊙O　，如果⊙O与边BC只有一个公共点，试确定R的值或R的取值范围. 
8、在△ABC中，∠BAC=90°,AB= AC=2，圆A的半径为1，
如图5－9所示，若点O在BC边上运动（与点B、C不重合），设
OB＝x，△AOC的面积为y（04年上海考题）.
求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
以点O为圆心，OB长为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时，△AOC的面积.
  答案
1、13cm或cm.
2、55°、55°或70°、40°.
3、19cm或23cm.
4、2或8.
5、5或1.
6、14cm或4cm.
7、解：（1）当⊙O与边BC相切时，此时⊙O与边BC仅有一个公共点，只要作OP⊥BC于P，以O为圆心，OP为半径作⊙O，此⊙O与边BC只有一个公共点.
　　此时，易证Rt△OPC∽Rt△BAC,得.
AB=2,OC= AC=2,BC= ,代入解得OP＝，所以当⊙O的半径R＝时，⊙O与边BC相切，⊙O与边BC仅有一个公共点P.（如图5-10）
（2）当⊙O的半径R取一定的值时，⊙O会与直线相交，但也可能与边BC仅有一个公共点（另一个公共点在边BC的延长线上）.如图5-11，连结OB，由AB＝AO＝2，OB＝2 ，而OC＝2，因此当⊙O的半径R满足条件2＜R≤2时，⊙O与边BC也仅有一个公共点.
综上所述，当⊙O的半径R＝或2＜R≤2时，⊙O与边BC只有一个公共点.
	8、解：过点A作AH⊥BC于点H.
y=－x+4(0 x 4)
（2）当点O与点H重合时，⊙O与⊙A相交（不合题意）.
当点O与点H不重合时，在Rt△AOH中，AO＝AH＋OH＝4＋.
设⊙O的半径为x，
（ⅰ）当⊙A与⊙O外切时，.
（ⅱ）当⊙A与⊙O内切时
故当⊙A与⊙O相切时，△AOC的面积或.
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