九年级数学上册复习知识结构和考点剖析
山东沂源徐家庄中学   左效平     256116
一、解直角三角形
1．1知识基本体系
1．2解直角三角形的考点剖析
考点1：求锐角三角函数
这是一个非常重要的考点。这类试题从不同角度，以灵活的形式，多变的条件，激发同学们的思考热情。
正方形网格上求锐角三角函数
例1、在正方形网格中，∠α的位置如图1所示，则sinα的值为（   ）．
A、     B、     C、     D、
解析：根据题意要想求sinα的函数值，应该将∠α放置到某一个直角三角形中。而在正方形网格上构造一个包含∠α的直角三角形是比较容易的。如图2，我们可以构造直角三角形AOB、直角三角形COD、直角三角形EOF、直角三角形GOQ等等，通过仔细观察构造的这些直角三角形，不难发现，它们有一个共同的特点，就是这些直角三角形的两条直角边都是相等的，即这些直角三角形都是等腰直角三角形。因此，sinα的值是，所以选B。
点评：这道题目虽然小，但是问题的背景新颖、独特。它以锐角三角函数的定义为问题求解的出发点，以构造直角三角形求解为问题解决的突破口，通过构造直角三角形的个数的多样性，来验证一个事实：一个锐角的函数值只与角度的大小有关，而与这个角所在直角三角形的直角边的长短是没有关系的。
例2、正方形网格中，如图3放置，则的值为（　　）
Ａ．			Ｂ．		Ｃ．		Ｄ．
解析：根据题意要想求的函数值，应该将∠AOB放置到某一个直角三角形中。而在正方形网格上构造一个包含∠AOB的直角三角形是比较容易的。如图4，我们可以构造直角三角形COD,通过仔细观察构造的直角三角形，不难发现，CD=2,OD=1,所以,斜边OC=√5,因此，的值等于1: √5,所以选A。
变化三角形的边长求三角函数值
例3、把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A’B’C’，那么锐角A、A’的余弦值的关系为（   ）．
A、cosA＝cosA’     B、cosA＝3cosA’     C、3cosA＝cosA’     D、不能确定
解析：把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A’B’C’，
所以，三角形ABC和三角形A′B′C′的对应边是成比例的，
所以，Rt△ABC ∽Rt△A’B’C’，
所以，∠A=∠A′，
根据锐角三角函数值的大小只与角的大小有关系的这一原则，
就得到：cos∠A =cos∠A′，所以应该选择A。
在平面直角坐标系中求三角函数值
例4、如图，P是∠的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4）， 则sin=   (    )
A．                            B． 
C．                            D． 
点P的坐标为（3，4），的对边长是4，邻边长是3，所以，斜边OP 的长为5，所以，sin的值为4：5。因此选B。
考点2、特殊角函数值的计算
例5、计算的值是            。
解析:这类问题的出发点,最明显,就是考同学们对特殊角的锐角三角函数值记忆程度。另外还渗透了互余两个角之间三角函数关系。在这里显然有sin60°=cos30°，所以，
sin60°：cos30°=1，又tan45°=1，因此，原式的值为0。
考点3、解直角三角形的应用
以仰角、俯角、方位角为载体的应用型问题。
求物高
例6、如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩云南”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为，求宣传条幅BC的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米）
解： ∵∠BFC =，∠BEC =，∠BCF =
 ∴∠EBF =∠EBC =∴BE = EF = 20
 在Rt⊿BCE中， 
答：宣传条幅BC的长是17.3米。
是否有触礁危险
解析：
判断货船有无触礁危险的标准为：
1）计算出货船向正东方向航行时，小岛C距正东航向的垂直距离；
2）比较垂直距离与暗礁半径的大小：
当垂直距离＞暗礁半径时，货船无触礁危险；
当垂直距离＜暗礁半径时，货船有触礁危险；
当垂直距离＝暗礁半径时，货船有触礁危险。
例7、如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东的方向上．该货船航行分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东的方向上，已知在C岛周围海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
解：
过点C作CD⊥AM，垂足D，
根据题意，得：
AB=24×0.5=12，
∠CAB=30°，∠CBD=60°，∠CDB=90°，
因为，∠CBD是三角形ABC的一个外角，
所以，∠CBD=∠CAB+∠ACB，
因为，∠CAB=30°，∠CBD=60°，
所以，∠ACB=30°，所以，∠ACB=∠CAB，
所以，AB=BC=12，
在直角三角形CBD中，
CD=BC×sin60°=12×=6，
又因为，=1.5，3＞2.25
所以，＞＞1.5，
所以，6＞6＞1.5×6＞9，
因为，在C岛周围海里的区域内有暗礁，
所以，继续向正东方向航行，该货船无触礁危险。
是否超速
例8、某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h（即m/s）。交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度监测点A，在如图3，所示的坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．
（1）请在图3中画出表示北偏东45°方向的射线AC，并标出点C的位置；
（2）点B坐标为              ，点C坐标为              ；
（3）一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15s，请通过计算，判断该汽车在限速公路上是否超速行驶？（本小问中）
解析：
判断汽车是否超速的标准为：
1）计算出笔直的限速公路BC的距离；
2）计算出汽车在笔直的限速公路BC的速度；
3）比较汽车在笔直的限速公路BC的速度与最高行驶速度的大小：
当汽车在笔直的限速公路BC的速度＞最高行驶速度时，超速；
当汽车在笔直的限速公路BC的速度＝最高行驶速度时，超速；
当汽车在笔直的限速公路BC的速度＜最高行驶速度时，不超速；
解：
（1）北偏东45°方向的射线AC，如图4所示，
（2）在直角三角形AOB中，OA=100，∠OAB=60°，
所以，OB=OA×tan60°=100，
点B坐标为（-100，0）；
又因为，∠CAO=45°，∠COA=90°，所以，∠ACO=45°，
所以，OA=OC=100，所以，点C的坐标为（100，0）；
3）由1）、2）知道，从点B到点C的距离为：（100+100）米；
并且汽车从点B行驶到点C所用的时间为15s，
所以，汽车的速度为：（100+100）÷15≈18m/s，
而最高速度为：50/3≈17m/s，
因为，18m/s＞17m/s，
所以，该汽车在限速公路上超速行驶。
是否通过
解析：
汽车能通过轴心距如图是一个路障的纵截面和汽车越过路障时的底盘示意图，是车轮的轴心，M是线段的中点（轴心距的中点），两车轮的半径相等．经验告诉人们，只要中点M不被P点托住（俗称托底盘，对汽车很有危害！），线段其它点就不会被P点托住，汽车就可顺利通过．否则，就要通过其他方式通过．
（1）若某汽车的车轮半径为50cm, 轴心距O1O2为400cm 通过计算说明∠APB等于多少度时，汽车能通过斜坡？（精确参考数据sin14.48o≈max.book118.com
≈0.97）
（2）当∠PB=120°时，通过计算说明要使汽车安全通过，车轮半径与轴心距O1O2的比应符合什么条件？解：
1）如图6，汽车能通过斜坡、M、P、Q恰好在一条直线上，连接C，则C⊥PA，
所以，在直角三角形PC中，M=200，C=50，
所以，sinMC===0.25，
又因为，sin14.48o≈0.25，，所以，∠MC =14.48o，
所以，∠APB=180°-14.48o-14.48o=151.04 o≈151 o；
（2）当∠PB=120°时，要使汽车安全通过，∠MC =30o，
所以，= sin30o=，所以，M=2C，所以，O1O2=4C，
即=，所以，当∠PB=120°时，要使汽车安全通过，车轮半径与轴心距O1O2的比应是否穿过文物保护区的标准为：
1）计算出C距直线MN的垂直距离；
2）比较垂直距离与文物保护区范围的大小：
当垂直距离＞文物保护区范围时，不会穿过文物保护区；
当垂直距离＜文物保护区范围时，穿过文物保护区；
当垂直距离＝文物保护区范围时，恰好穿过文物保护区；
例10、2007年5月17日我市荣获“国家卫生城市称号”．如图7,在“创卫”过程中，要在东西方向两地之间修建一条道路．已知：如图点周围180m范围内为文物保护区，在上点处测得在的北偏东方向上，从向东走500m到达处，测得在的北偏西方向上．是否穿过文物保护区？为什么？（参考数据：）
:解：
如图8,所示,
过C作CH⊥AB于点H，设CH=xm，
则，．
，
．，所以，不会穿过保护区。
是否最近
解析：
判断轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近的标准为：
1）作出C到直线AB的垂直距离，找到距离小岛最近的点的位置，垂足处；
2）求出点B与垂足之间的距离，就是所要求的答案。
例10、一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5
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