聚焦方程（组）与不等式（组）综合问题
江西　　　康海芯
　　方程（组）与不等式（组）的综合问题是近两年中考数学的一类典型试题，本文以2006年中考题为例，对这类问题进行分类解析，供复习时参考．
　　一、方程（组）与不等式（组）解法的综合
　　例1　（赣州市）是否存在这样的整数a，使方程组的解是一对非负数，并求出它的解．
　　分析：先解方程组，由于x，y均为非负数，即可以得到一个关于a的不等式组，解这个不等式组即可得到a的取值范围，进而求得整数a的值，从而可以求出原方程组的解．
　　解：解方程组得x，y均为非负数，即有解得．
　　故在整数范围内a的值为4、5、6，当a=4、5、6时，分别对应的方程组的解为或或
　　评注：以方程确定未知数的值或未知数的代数式表示，以不等式确定未知数或字母系数的取值范围，是解决这类问题的常用方法．
　　例2　（吉安市）已知关于x的不等式组的解集为3≤x 5，求的值．
　　分析：先求出不等式组的解集，然后对照已知的不等式组的解集，可以得到一个关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求解．
　　解：解不等式组得
　　因为已知不等式组的解集为3≤x 5，
　　所以解得a=-3，b=6，即．
　　评注：将求出的不等式组的解集与已知的解集相对照，得到关于a、b的二元一次方程组是解决本题的关键．
　　二、方程（组）与不等式（组）实际应用的综合
　　例3　（武汉市）有一市政建设工程，若由甲、乙两工程队合做，需要12个月完成；若甲队先做5个月，剩余部分由甲、乙两队合做，还需要9个月才能完成．
　　（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程需要多少个月？
　　（2）已知甲队每月的施工费用为5万元，乙队每月的施工费用为3万元，要使该工程施工总费用不超过95万元，则甲工程队最多施工多少个月？
　　分析：（1）中存在着两个等量关系：①甲、乙两工程队合做，需要12个月完成；②甲队先做5个月，甲、乙两队还要合做9个月才能完成，根据等量关系即可得到一个方程组，即可求解；（2）中包含一个相等关系：甲、乙两工程队的工作总量为“1”；还有一个不等关系：该工程施工总费用不超过95万元．因此可以列出混合组解决问题．
　　解：（1）设甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要x，y个月，根据题意，得解这个方程组，得
　　经检验他们是原方程组的解，且都符合实际意义．
　　（2）设甲、乙两工程队分别做a、b个月，该工程施工总费用不超过95万元，根据题意，得
　　解得a≤10．答：略．
　　评注：解方程和不等式组综合题的关键是将方程正确的变形，通过代入不等式消元，把它转化为一元一次不等式求解．
　　例4　（广东省）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．
　　分析：本题中表示相等关系的语句是：若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；表示不等关系的语句是：若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，可以看作最后一个小朋友得到的苹果数大于0且小于8，他前面有（x-1）个小朋友都能分到8个苹果．
　　解：设有x个小朋友，苹果有y个，根据题意，得
　　解得．
　　∵ x为正整数，∴x=5或6．
　　当x=5时，5x+12=37（个）；
　　当x=6时，5x+12=42（个）．答：略．
　　评注：本题也可以采用列一个关于x、y的不等式组的方法来求解，你不妨试一试，然后比较一下，看哪种方法简便．
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