距离(二)备用例题 利用向量方法求解空间距离问题,可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤,而转化为向量间的计算问题. 例1如图,已知正方形ABCD的边长为4,E、F分别是AB、AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,求点B到平面EFG的距离. 分析:由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直,可以由此建立空间直角坐标系.用向量法求解,就是求出过B且垂直于平面EFG的向量,它的长即为点B到平面EFG的距离. 解:如图,设4i,4j,2k,以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C-xyz. 由题设C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0),D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2). ∴ ,, ,, . 设平面EFG,M为垂足,则M、G、E、F四点共面,由共面向量定理知,存在实数a、b、c,使得, ∴ =(2a+4b,-2b-4c,2c). 由平面EFG,得,,于是 ,. ∴ 整理得:,解得. ∴ =(2a+4b,-2b-4c,2c)=. ∴ 故点B到平面EFG的距离为. 说明:用向量法求点到平面的距离,常常不必作出垂线段,只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了. 例2已知正方体ABCD-的棱长为1,求直线与AC的距离. 分析:设异面直线、AC的公垂线是直线l,则线段在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段,所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解. 解:如图,设i,j,k,以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系-xyz,则有 ,,,. ∴ ,,. 设n是直线l方向上的单位向量,则. ∵ n,n, ∴ ,解得或. 取n,则向量在直线l上的投影为 n··. 由两个向量的数量积的几何意义知,直线与AC的距离为. §9.8 距离(二)备用例题第1页共2页
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