再版前言 
     贾士代教授主编的《中学教学方法与解题能力培养》丛书（一套五 
种）自 1993年出版以来，在全国各地中学师生中产生了很大的反响，深 
受广大读者厚爱，收到了良好的社会效益． 
     这六年来，中学数学的教学内容已有一定变动，许多读者纷纷来信， 
建议该丛书修订再版．为了满足广大读者的需要，我们对原丛书进行了 
认真修订．修改时，初中部分我们按照全国九年义务教育数学教材，高 
中部分依据1998年教育部发布的《关于调整现行普通高中数学、物理学 
科教学内容和教学要求的意见》． 
     修订后的丛书有下列三个显著特点： 
      （一）培养素质突出“三法” 
     为了应付高考和中考，学生们在学习中不得不做大量的习题集、练 
习册．面对茫茫题海，许多学生苦恼，不少教师忧虑．怎样从根本上提 
高学生的解题能力，使学生早日摆脱题海的束缚，怎样更好地进行素质 
教育，成了人们议论的焦点． 
     我们认为，在素质教育中，要想真正提高学生的数学能力，就必须 
注重发展学生的思维，必须对学生进行以“数学三法”为主要内容的数 
学方法教育．所谓“数学三法”，就是思维方法、学科方法和类型题解 
证法．思维方法是处理数学问题的一般方法，如分析法、综合法和数形 
结合法等．学科方法是每门学科的思想方法，例如，立体几何中有辅助 
图形法与割补法、转化为平面几何法和体积法等．类型题解证法是数学 
各学科中每一种类型题的各种解法，是思维方法与学科方法、数学知识 
在不同类型题中的灵活应用．解题时，思维方法是解题的先导，学科方 
法与类型题解证法则是解题的具体实施．我们平常所说的解题方法与技 
巧，往往是在正确的思维方法引导下，灵活运用学科方法、类型题解证 
法与数学知识的结果．因此，“数学三法”是解数学题的思路、方法与 
技巧的源泉，是数学的“宗”．只有使学生真正掌握了数学的“宗”， 
才能达到以不变应万变的目的． 
     本丛书修订后的每一册都是按照思维方法、学科方法与类型题解证 
法这三章精心编写的，力求做到层次分明、条理清晰、难易适度． 
      （二）方法全面题型新颖 
     本丛书从几千种书刊中汲取了丰富的营养，把各家之精髓熔为一炉， 
汇集了中学数学的各种思维方法与解题技巧．因此，本丛书中的方法具 
有全面性、系统性、普遍性和灵活性． 
     另外，在编写过程中，我们特别注意题型的新颖性和典型性．除从 
各类书刊中精选有代表性的题目外，我们的重点是从1994年以来全国各 
地各类考试中精选数学题，因为这些题目最为活跃、最富有生命力． 
      （三）巧解妙证趣味横生 
     数学问题的巧妙解法，往往简捷得使人惊叹，巧妙得令人叫绝．巧 
妙解法能激发学生的学习兴趣，有利于培养创造思维能力．因此，本丛 
书在指导学生掌握解数学题的通法外，还常常向学生展示问题的巧妙解 
法，使读者得到无穷的乐趣和美的享受． 
     本书是该丛书的一种．第一、二章分别讲解立体几何的思维方法和 
学科方法，可作为高中生全面复习立体几何时使用；第三章是按教材顺 
序全面讲述各种类型题及其解法，可作为初学者同步学习之用． 
     本书由贾士代先生主编，参加编写工作的有贾士代、张子莲、贾玲 
娟、贾迎乐、曹全友、马十成、詹红庆、张伟奇、李济克、李光显等老 
师． 
     书中有不足和错误之处，恳请广大读者指正． 
                                                                         编者 
                            第一章 思维方法 
                           §1．1 分析综合法 
     综合法、分析法和分析综合法是平面解析几何中论证命题的基本方 
法． 
     从已知条件出发，运用学过的定义、公式、定理进行一步步地正确 
推理，最后证得结论，这种论证命题的思维方法叫做综合法．从命题的 
结论入手，寻找使这个结论成立的充分条件，一直追溯到已知条件为止， 
这种论证命题的思维方法叫做分析法．把分析法与综合法结合起来去论 
证命题的思维方法叫做分析综合法，它是从一个命题的两头向中间“挤”， 
因此容易发现证题的突破口，收到事半功倍的效果． 
     例 1 设A、B、C是双曲线xy=1上的三点，求证：△ABC的垂心H 
必在此双曲线上． 
      【分析】 如图1－1，设H的坐标为(x，y)，要证H在此双曲线 
                                               0  0 
上，即证xy=1．而H是两条高AH与BH的交点，因此需求直线AH、BH 
           00 
的方程，进而从所得方程组中设法推出xy=1． 
                                           00 
      【证明】 如图1－1，由已知可设A、B、C的坐标分别为(α， 
 1            1            1 
   ) 、( β， ) 、( γ， ) ． 
 α            β            γ 
                  1     1 
                  γ β           1 
      ∵ k      =                    ， 
            BC    γ  β         βγ 
                   1 
      ∴ kAH   = -        βγ． 
                  k 
                   BC 
                                 1 
     从而 直线AH的方程为y -                 =  βγ(x -  α) ． 
                                 α 
                                  1 
      同理，直线BH 的方程为y -                = γα(x - β) ． 
                                  β 
     设点H的坐标为(x，y)，则 
                        0  0 
                        1 
                   y0  -   = βγ(x 0  -  α)                              ① 
                        α 
                        1 
                   y0  -   = γα(x 0  -  β)                               ② 
                        β 
     由①式左乘②式右及①式右乘②式左，得 
                 1                        1 
      αγ(y0  -     )(x0 - β) = βγ(y0  -     )(x0 -  α) ， 
                α                         β 
     化简可得xy(α-β)=α-β． 
                 00 
     ∵ α≠β，∴xy=1． 
                        00 
     故H点必在双曲线xy=1上． 
      【解说】 本证法的思考过程中，从分析法入手，得出证点H在双 
曲线xy=1上就是证xy=1．这为综合法证明此题指明了目标．在用综合 
                       00 
法证明的过程中，牢牢抓住这个目标，去寻找 x、y的关系式，用式子 
                                                    0  0 
①与②相乘，巧妙地消去参数α、β、γ，得到xy=1．从而避免了解 
                                                       00 
方程的麻烦，提高了解题速度． 
     例2 在直角坐标系xOy中，已知A(x，y)、A(x，y)是单位圆 
                                            1 1  1        2 2  2 
 2 2 
x+y=1内任两点，设点P(x，y)是以线段AA为直径的圆上任一点，求 
                                               12 
      2 2 
证：x+y＜2． 
平面解析几何44讲（修订版）.pdf