中考数学重难点专题讲座 第七讲 坐标系中的几何问题 【前言】 前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面,相信很多同学都已经掌握了。但是中考中,最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的,一方面涉及函数,坐标系,计算量很大,另一方面也有各种几何图形的性质体现。所以往往这类问题都会在最后两道题出现,而且基本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的,往往起到拉开分数档次的关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学,这类问题一定要重视。此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发,去彻底攻克此类问题。 第一部分 真题精讲 【例1】2010,石景山,一模 已知:如图1,等边的边长为,一边在轴上且, 交轴于点,过点作∥交于点. (1)直接写出点的坐标; (2)若直线将四边形的面积两等分,求的值; (3)如图2,过点的抛物线与轴交于点,为线段上的一个动点,过轴上一点作的垂线,垂足为,直线交轴于点,当点在线段上运动时,现给出两个结论: ① ②,其中有且只有一个结论是正确的,请你判断哪个结论正确,并证明. 【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻,稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解,条分缕析提出每一个条件,然后一步一步来。第一问不难,C点纵坐标直接用tg60°来算,七分中的两分就到手了。第二问看似较难,但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了,这个定理的证明不难,有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于EFAB还是一个等腰梯形,所以对角线交点非常好算,四分到手。最后三分收起来有点麻烦,不过稍微认真点画图,不难猜出①式成立。抛物线倒是好求,因为要证的是角度相等,所以大家应该想到全等或者相似三角形,过D做一条垂线就发现图中有多个全等关系,下面就忘记抛物线吧,单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此,一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了。 【解析】解:(1);. (2)过点作于,交于点,取的中点. ∵是等边三角形,. ∴ . 在中,. ∴. ∴. ∵∥交于,. ∴. ∵直线将四边形的面积两等分. ∴直线必过点. ∴,∴ (3)正确结论:①. 证明:可求得过的抛物线解析式为 ∴. ∵. ∴. 由题意. 又∵ ∴ ∴≌ ∴, ∴ 过点作于 ∴ ∴ 由题意可知∥ ∴ ∴ ∴ 即:. 【例2】2010,怀柔,一模 如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与轴交点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC.现有两动点PQ分别从C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒) (1)求A,B,C三点的坐标; (2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0<t<时,△PF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由; (4)当t时,△PF为等腰三角形?如图,已知抛物线:的顶点为,与轴相交于、两点(点在点的左边),点的横坐标是. (1)求点坐标及的值; (2)如图(1),抛物线与抛物线关于轴对称,将抛物线向右平移,平移后的抛物线记为,的顶点为,当点、关于点成中心对称时,求的解析式; (3)如图(2),点是轴正半轴上一点,将抛物线绕点旋转后得到抛物线.抛物线的顶点为,与轴相交于、两点(点在点的左边),当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时,求点的坐标. 【思路分析】出题人比较仁慈,上来就直接给出抛物线顶点式,再将B(1,0)代入,第一问轻松拿分。第二问直接求出M坐标,然后设顶点式,继续代入点B即可。第三问则需要设出N,然后分别将NP,PF,NF三个线段的距离表示出来,然后切记分情况讨论直角的可能性。计算量比较大,务必细心。 【解析】 解:⑴由抛物线:得 顶点的为 ∵点在抛物线上 ∴ 解得, ⑵连接,作轴于,作轴于 ∵点、关于点成中心对称 ∴过点,且 ∴ ∴, ∴顶点的坐标为 (标准答案如此,其实没这么麻烦,点M到B的横纵坐标之差都等于B到P的,直接可以得出(4,5)) 抛物线由关于轴对称得到,抛物线由平移得到 ∴抛物线的表达式为 ⑶∵抛物线由绕点轴上的点旋转得到 ∴顶点、关于点成中心对称 由⑵得点的纵坐标为 设点坐标为 作轴于,作轴于 作于 ∵旋转中心在轴上 ∴ ∴,点坐标为 坐标为,坐标为, 根据勾股定理得 ①当时,,解得,∴点坐标为 ②当时,,解得,∴点坐标为 ③∵,∴ 综上所得,当点坐标为或时,以点、、为顶点 的三角形是直角三角形. 【例4】2010,房山,一模 如图,在平面直角坐标系中,直线l1:交轴、轴于、两点,点是线段上一动点点是线段的三等分点. (1)求点的坐标; (2)连接,将绕点旋转,得到①当时,连结、若过原点的直线将四边形分成面积相等的两个四边形,确定此直线的解析式; ②过点作轴于,当点的坐标为何值时,由点、、、构成的四边形为梯形? 【解析】 (1)根据题意:, ∵是线段的三等分点 ∴或---------------2分 (2)①如图,过点作轴于点, 则. ∵. ∴ ∴ ∴ ∵点在直线上 ∴- ∵是由绕点旋转得到的 ∴ ∴无论是、点,四边形是平行四边形且为对称中心 ∴所求的直线必过点. ∴直线的解析式为: ② 当时, 第一种情况:在点左侧 若四边形是梯形 ∵与不平行 ∴∥ 此时 第二种情况:在点右侧 若四边形是梯形 ∵与不平行 ∴ ∵是线段的中点 ∴是线段的中点 ∴ 由,. ∴ ∴点的横坐标为 ∴ 当时,同理可得 第一种情况:在点左侧时,- 第二种情况:在点右侧时,- 综上所述,所求M点的坐标为:,,或. 在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点,(点A在点B左侧).与y轴交于点C,顶点为D,直线CD与x轴交于点E. (1)请你画出此抛物线,并求A、B、C、D四点的坐标. (2)将直线CD向左平移两个单位,与抛物线交于点F(不与A、B两点重合),请你求出F点坐标. (3)在点B、点F之间的抛物线上有一点P,使△PBF的面积最大,求此时P点坐标及△PBF的最大面积. (4)若平行于x轴的直线与抛物线交于G、H两点,以GH为直径的圆与x轴相切,求该圆半径. 第二部分 发散思考 【思考1】2009,北京 . 如图,在平面直角坐标系中,三个顶点的坐标分别为,,,延长AC到点D,使CD=,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E. (1)求D点的坐标; (2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式; (3)设G为y轴上一点,点P从直线与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。(要求:简述确定G点位置的方法,但不要求证明) 【思路分析】在一模真题部分我们谈到的是直线分四边形面积相等,但是这道去年中考原题则是分周长相等。周长是由很多个线段组成的,所以分周长相等只需要研究哪些线段之和相等就可以了。所以自然想到去证明全等三角形。第三问虽然不要求证明,但是只需设出速度,利用相似三角形去建立关系,还是不难证明的,有余力的同学可以试试. 【思考2】2009,西城,一模 已知:如图,与x轴、y轴的交点分 别为A、B,将∠OBA对折,使点O的对应点H落在直线AB上,折痕交x轴于点C. (1)C的坐标,并求过A、B、C三点的抛物线的解析式; (2C上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四 边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由; (3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T,Q为线段BT上一点,直接写出 的取值范围. 【思路分析】第二问有两个思路,第一个是看已知四边形的线段是否平行且相等,角是否符合平行四边形的条件。另一个是看假如有平行四边形,那么构成平行四边形的点P是否在BC上。从这两个思路出发,列出方程等式即可求解。第三问根据抛物线的对称性来看三点共线,继而看出最大值和最小值分别是多少。 【思考3】2009,朝阳,一模 抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,与y轴交于点C(0,-3),抛物线顶点为M,延长AC交抛物线对称轴于点Q,且点Q到x轴的距离为6. 求此抛物线的解析式; 在抛物线上找一点D,使得DC与AC垂直,求出点D的坐标; 抛物线对称轴上是否存在一点P,使得S△PAM=3S△ACM,若存在求出P点坐标若不存在请说明理由. ,与轴交于点,且. (I)求抛物线的解析式; (II)探究坐标轴上是否存在点,使得以点为顶点的三角形为直角三角形? 若存在,求出点坐标,若不存在,请说明理由; (III)直线交轴于点,为抛物线顶点.若, 的值 【思路分析】本题虽然没有明确给出坐标,但是表达式中暗含了X=0时Y=-3,于是C点得出,然后利用给定的等式关系写出A,B去求解析式。第二问中,
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