* max.book118.com 中心对称图形 常向峰 古交市第十四中学 问题(1)观察下列这组图形,有什么共同之处? 引入 (2) 图1中的两个三角形怎样变换可以使它们 重合?那么图2呢? 图1中的△ABC绕点O旋转180度后能与△DEF重合 ; 图2中的矩形ABCD绕点O旋转180度后能与矩形EFGH重合. 把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够和另一个图形重合,那么这两个图形成中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点,叫做关于中心的 对称点. 中心对称的概念 点 180° 重合 中心对称的性质 ① 关于中心对称的两个图形是全等形; ② 关于中心对称的两个图形,对称点的 连线段过对称中心,且被对称中心平分; ③ 关于中心对称的两个图形,对应线段互 相平行或在一直线上. 若两个图形关于某一点成中心对称,那么下列说法: ①对称点的连线必过对称中心; ②这两个图形一定全等; ③对应线段一定平行且相等; ④将一个图形绕对称中心旋转180°必定与另一个图形重合.其中正确的是( ). (A) ①② (B) ①③ (C) ①②③ (D) ①②③④ 试一试 中心对称与中心对称图形的区别与联系 区别: ① 中心对称指两个全等图形的相互位置关系; ② 中心对称图形指一个图形本身成中心对称. 联系: ① 如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体, 则它们是中心对称图形; ② 如果将中心对称图形,把对称的部分看成两个图 形,则它们是关于中心对称. 中心对称的性质定理的逆定理 如果两个图形的对应点的连线段都经过某一点,并且都被该点平分,那么 这两个图形一定关于这一点成中心对称. 定理1 关于中心对称的两个图形是全等形. 定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分. 逆定理:如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称 . 如何来判定两个图形成中心对称呢? 1. 作图题:作四边形ABCD关于点O的对称图形. 步骤: ①连结AO并延长到E,使OE=OA,得到A点关于点O的对称点E; ②同样方法画出点B、C、D的对称点F、G、H; ③顺次连结E、F、G、H,得到四边形EFGH. 四边形EFGH即为所求的四边形. E F G H 运用 1.已知△ABC及高AD,试画出他们关于点D成中心对称的图形. 2.如图,已知△ABC与△A’B’C’中心对称,画出它们的对称中心O. O E F G △EFG为所求作的三角形. 点O为△ABC与△A’B’C’中心对称的对称中心. 演练 2. 已知:如图AD是△ABC中∠A的平分线,DE//AC交AB于E.DF//AB交AC于F. 求证:点E,F关于直线AD对称. 运用 3. 仔细观察如图所示的图案,然后回答下列问题: 只是轴对称图形的有 ;只是中心对称图形的有 ;既是中心对称图形又是轴对称图形的有 . ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 演练 4. 某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛,从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种图案,你认为符合条件的是 ( ) A. 等腰三角形 B.正三角形 C.等腰梯形 D.菱形 5. 如图所示的四组图形中,左边图形与右边图形成中心对称的有 ( ) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 演练 (1)在中国的园林建筑中,很多建筑图形具有对称性如图是一个破损花窗的图形,请把它补画成中心对称图形. (2)请你将两种或两种以上不同的图形组合在一起, 设计成一个既是轴对称又是中心对称的图案,并指出 你所用图形的名称. 动动手 ①我们已经知道平行四边形是中心对称图形,现过对称中心任意画一直线将其分成两部分,这两部分面积有何关系? 过对称中心的任意一条直线将平行四边形 分成面积相等的两部分. M N A B C D O 探究1 ②张老汉有一块田地如图所示,他想田分给两个儿子,儿子提出: ⑴分割的面积应相等; ⑵最好把分割线做成一条水渠,便于灌溉。 你能帮助张老汉画出这条分割线吗? 探究2 ③如图,有一块长方形田地,田地内有一口井,现将这块土地平分给两家农户,要求两家合用这口井浇地,请问应如何分?在图中画出分界线. 探究3 3. 已知:如图ABCD和矩形AB’C’D’关于A点对称 求证:四边形BDB’D’是菱形 证明:∵矩形ABCD和矩形AB’C’D’ 关于A点对称 ∴AB=AB’ DA=D’A ∴四边形BDB’D’是平行四边形 ∵DD’ ⊥BB’ ∴ BDB’D’是菱形 A B C D B’ C’ D’ 运用 4. 如图△ABC中AB?AC,E为AB上一点,F是AC的延长线上一点,EF交BC于D,DE?DF,说明BE?CF的理由. 由于ED?DF,?EDG??CDF,可以把△CDF绕点D旋转180°到△GDE,则△CDF与△GDE关于点D成中心对称,根据中心对称的性质,可以得到EG?CF,?EGD??DCF,而已知AB?AC,则?ACD??B??EGB 即△EBG为等腰三角形,所以EB?EG?CF. 运用 7. 如下图,点A、B为河塘两对岸的两座村庄,为了测量两村庄间的距离,因条件限制,不能经过河塘直接测量.请你想一想,能否利用所学的知识来解决这个问题呢? 演练 小结: 定义 定理1 1。 中心对称 性质 定理2 画法 ----逆定理 2。 中心对称与轴对称有什么不同? 中心对称 —— 图形绕点旋转1800 轴对称 ——— 图形沿轴翻折1800 作业:1。课本习题4.4A组第1题(1)。 2。课本习题4.4A组第3、4题 * max.book118.com 中心对称图形 * 解答:由于测量时不能经过河塘,这就需要将两点 (村庄)在不改变AB两点之间的距离的情况下,移动到 适当位置。首先在河塘岸边适当的位置取一点C(如下图 ),连接AC、BC(使保持AC、BC不经过河塘),分 别将AC、BC延长到点A’、B’,使A’C?AC,B’C?BC; 这样即是作线段AB关于点C的中心对 称图形A’B’,根据中心对称的特征有 A’B’?AB,所以测出A’、B’两点间的距 离,就是A、B两点间的距离,也即两 村庄间的距离. A B C A’ B’ *
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