操作类问题与计数类问题由于其灵活性和本身的趣味性,非常受出题和供题者青睐,如今各类数学竞赛的出题越来越趋向于新奇和趣味化,因此操作类问题和计数问题在竞赛中的比重将会加大。鉴于操作类问题和计数问题没有一般性的算法或解题通式,本讲将以近年来各类竞赛以及小升初考试中的出现过的真题为例,引导学生发现关键并解决问题。 常见操作类问题 计数技巧与操作 (年《小学生数学报》读报竞赛)把一张正方形的餐巾纸先上下对折,再左右对折(如右图),然后用剪刀将所得的小正方形沿直线剪一刀。问能把餐巾纸: ⑴剪成块吗? ⑵剪成块吗? ⑶剪成块吗? ⑷剪成块吗? 如果你认为能剪成,请在下面图中各画出一种你的剪法;如果你认为不能,那么只需回答“不行”即可。 【分析】⑴剪开成两块,如下图: ⑵剪开成块,如下图: ⑶剪开成块,如下图: ⑷剪开成块,如下图: 【巩固】(年华杯赛)将等边三角形纸片按图所示的步骤折迭次(图中的虚线是三边中点的连线),然后沿两边中点的连线剪去一角。 将剩下的纸片展开、铺平,得到的图形是( ). 【分析】折迭次,纸片的厚度为,所以剪去的面积即应等于倍小三角形的面积,所以答案是。 、、、四个盒子中依次放有,,,个球。第个小朋友找到放球最少的盒子,从其他盒子中各取一个球放入这个盒子;然后第个小朋友找到放球最少的盒子,从其他盒子中合取一个球放入这个盒子;如此进行下去,……。求当位小朋友放完后,盒子中放有球多少个? 【分析】盒子 初始状态 6 4 5 3 第1人放过后 5 3 4 6 第2人放过后 4 6 3 5 第3人放过后 3 5 6 4 第4人放过后 6 4 5 3 第5人放过后 5 3 4 6 由此可知:每经过人,四个盒子中球的情况重复出现一次,因为,所以第次后的情况与第次后的情况相同,即盒子中有球个。 (年十一届“华罗庚金杯”数学邀请赛)有个黑色和白色棋子围成一圈,规定:将同色且相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子,在异色且相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子,然后将原来的个棋子拿掉。如果第一幅图的初始状态开始依照上述规定操作下去,对于圆圈上呈现个棋子的情况,圆圈上黑子最多能有______个。 【分析】首先圆圈上是不可能有个黑子的,因为如果最后一步操作能使圆圈上的棋子都变成黑子,那么该操作之前,圆圈上的棋子颜色情况是黑白相邻,但圆圈上一共有奇数个棋子,无法达成黑白相邻的情况,所以黑子最多有个。实际操作得到: 【拓展】经过次操作后,圆圈上的棋子颜色情况是怎样的? 【分析】如图进行操作,当第此操作时,圆圈上的棋子颜色情况与第一次操作后的相同。所以第次操作时圆圈上的棋子颜色与第次操作后的圆圈情况相同。 位同学围成一圈,从某同学开始顺时针报数.第一位同学报,跳过一人第三位同学报,跳过两人第六位同学报,……这样下去,报到为止.报的同学第一次报的是次报数的人的编号为,报的同学,他的最小编号为,我们知道,所以报的同学第一次报年“数学解题能力展示”读者评选活动)在纸上写着一列自然数l,2,…,98,99。一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去,然后把这三个数的和写在数列的最后面。例如第一次操作后得到4,5,…,98,99,6;而第二次操作后得到7,8,…,98,99,6,15。这样不断进行下去,最后将只剩下一个数,最初的个数连同后面写下的数纸上出现的所有数的总和是。个数,所以只剩下一个数的话,要经过步操作,即后面要写个数,注意到每一次操作后数和不变。前步操作将个数个个加和放在后边,和等于,接着步操作将写的个数个个加和在后边,和等于,这11个数分别是,,,,。相邻两个相差, 之后还有个数,第一个数是。 最后一个数, 而之间三个数的和等于最后一个数即, 所以这些数的总和等于。 【前铺】将前个正整数顺次写下得到多位数,从首位起将这些数位从1开始编号,然后划去编号是奇数的数位上的数字,这样便形成一个位数较少的多位数,重复上述这种划去数字操作,直至得到一个三位数,则这个三位是______。 【分析】第一次操作后,剩下的全都是偶数位的数字 第二次操作后,剩下的全是的倍数位上的数字; …………… 直到第六次操作后,剩下的全是的倍数位上的数字, 原多位数一共有位,所以此时剩下的是第位、位和位上的数字。 ,,所以第位上的是“”的“”;,,所以第位上的是“”的“”,所以剩下的三位数是。 有一叠张卡片,从上到下依次编号为,从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作:把最上面的第一张卡片拿掉,把下一张卡片放在这一叠卡片的最下面;再把最上面的依次重复这样做,直到手中剩下一张卡片。那么剩下的这张卡片是原来张卡片的第几张? 【分析】张。 当有(张)卡片时,第一轮过后剩下的是的倍数号卡片,第二轮过后剩下的是的倍数号卡片……第轮过后,剩下的是的倍数号卡片,即就剩下张卡片,是第号卡片。 现在有张卡片,如果拿掉(张)卡片,剩下张卡片,那么就变为上述的情况了。拿掉的第张卡片是编号为(号)的卡片,此时剩下张卡片,下一个要拿掉的是第号卡片,第号是最后一张。所以,剩下的这张卡片是原来的第张。 【点评】关键是从模型中找到规律,这种规律的前提是个数,这就要考量怎么转换条件的问题。 【拓展】(奥数网小学员论文)猫捉耗子是一个有名的游戏,一只猫让个老鼠围成一圈报数,每次吃掉报单数的老鼠,有一只老鼠总不被吃掉,问这个老鼠站在哪个位置?数学中称这类问题为猫捉耗子问题。对这类问题通常的做法是从特殊情况出发,逐步发现规律,然后给出求解公式。老师在课堂上介绍了公式以及推导过程,但我认为推导过程较为复杂,不好理解。根据反复试验和观察,本文给出了一种容易理解的求解这类问题的方法。 方法和例子 ????这里列举这类问题的两种情形。对于每种情形都首先考虑特殊情况,然后从中发现规律。这两种情形都是基于如下前提:从1到编号的个老鼠顺时针围成一圈,从1开始报数。并规定游戏一开始的第一个生存者是1号老鼠。设老鼠的总个数为,最后幸存的老鼠编号为。 情形1: ? ??1号老鼠生存下来,2号老鼠被猫吃掉;3号老鼠生存下来,4号老鼠被猫吃掉.....就这样,这只猫每隔一只老鼠,就吃掉另一只老鼠,那么最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢? ????先考虑简单的情况。当有两只老鼠围成一圈时,猫吃掉了2号,1号为最后的幸存者;当有三只老鼠围成一圈时,猫先吃掉了2号,然后是1号,最后的幸存者是3号.....,依次类推,可发现如下规律: N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ... X 1 3 1 3 5 7 1 3 5 7 9 11 13 15 1 3 5 7 9 ... ??对于这种情况,每次猫都是从两只老鼠中吃掉一只老鼠,可认为2只为一个周期,用m=2表示;用n表示每个周期内吃掉的老鼠数目,这里是n=1。 情形2: ? ??1号老鼠生存下来,2号、3号老鼠被猫吃掉;4号老鼠生存下来,5号、6号老鼠被猫吃掉.....就这样,这只猫每隔一只老鼠,就吃掉另两只老鼠,依次下去,最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢? ????先考虑简单的情况。当有三只老鼠围成一圈时,猫吃掉了2号和3号,1号为最后的幸存者;当五只老鼠围成一圈时,猫先吃掉了2号和3号,然后是5号和1号,最后的幸存者是4号.....,依次类推,可发现如下规律: N 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 ... 81 83 ... X 1 4 7 1 4 7 10 13 16 19 22 25 1 4 7 10 ... 1 4 ... ? ????对于这种情况,每次猫都是从三只老鼠中吃掉两只,可认为3只为一个周期,即m=3;每3只中吃掉两只,因此,。 结论 ????通过对上述两种情形的运算结果的观察,发现N的所有可能的取值按照一定的顺序排列后,构成了一个等差数列。该数列的首项,公差(和都是正整数)。 ????而与对应的的取值则构成了若干个等差数列,,,。这些等差数列的公差都为,首项都为。还发现,构成的这些等差数列有这样一个规律:每逢的值为时(和都是正整数),对应的取值就是1。也就是说,当的取值范围从到 之间时,对应的的取值就构成了一个,的等差数列,项数就是从到之间数的个数(包括和这两个数)。 ????那么现在来看看一般情形:如果猫要从个老鼠中吃掉个老鼠,那么最后幸存的老鼠是几号呢?由上面的结论,可以得出这样的求解步骤: ????1、 首先找到小于的一个最大的数(是正整数,并假设);? ????2、 这样就构成一个首项,末项,公差的等差数列,利用公式求出项数; (即, ) ????3、 因为的每个取值也构成了一个与对应的等差数列,其中,公差为,首项为1,项数为。利用等差数列求末项公式,求出末项; (即,) ????4、 就是与对应的的值,也就是最后唯一幸存老鼠的编
奥数第9讲[1][1].竞赛123班.教师版.doc
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