操作类问题与计数类问题由于其灵活性和本身的趣味性，非常受出题和供题者青睐，如今各类数学竞赛的出题越来越趋向于新奇和趣味化，因此操作类问题和计数问题在竞赛中的比重将会加大。鉴于操作类问题和计数问题没有一般性的算法或解题通式，本讲将以近年来各类竞赛以及小升初考试中的出现过的真题为例，引导学生发现关键并解决问题。
常见操作类问题
计数技巧与操作
（年《小学生数学报》读报竞赛）把一张正方形的餐巾纸先上下对折，再左右对折（如右图），然后用剪刀将所得的小正方形沿直线剪一刀。问能把餐巾纸：
⑴剪成块吗？    ⑵剪成块吗？
⑶剪成块吗？    ⑷剪成块吗？
如果你认为能剪成，请在下面图中各画出一种你的剪法；如果你认为不能，那么只需回答“不行”即可。
【分析】⑴剪开成两块，如下图：
⑵剪开成块，如下图：
⑶剪开成块，如下图：
⑷剪开成块，如下图：
【巩固】（年华杯赛）将等边三角形纸片按图所示的步骤折迭次(图中的虚线是三边中点的连线)，然后沿两边中点的连线剪去一角。
将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是(      )．
【分析】折迭次，纸片的厚度为，所以剪去的面积即应等于倍小三角形的面积，所以答案是。
、、、四个盒子中依次放有，，，个球。第个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；然后第个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中合取一个球放入这个盒子；如此进行下去，……。求当位小朋友放完后，盒子中放有球多少个？
【分析】盒子                          
初始状态           6     4     5     3
        第1人放过后       5     3     4     6
        第2人放过后       4     6     3     5
        第3人放过后       3     5     6     4
        第4人放过后       6     4     5     3
        第5人放过后       5     3     4     6
        由此可知：每经过人，四个盒子中球的情况重复出现一次，因为，所以第次后的情况与第次后的情况相同，即盒子中有球个。
（年十一届“华罗庚金杯”数学邀请赛）有个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色且相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色且相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的个棋子拿掉。如果第一幅图的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有______个。
【分析】首先圆圈上是不可能有个黑子的，因为如果最后一步操作能使圆圈上的棋子都变成黑子，那么该操作之前，圆圈上的棋子颜色情况是黑白相邻，但圆圈上一共有奇数个棋子，无法达成黑白相邻的情况，所以黑子最多有个。实际操作得到：
【拓展】经过次操作后，圆圈上的棋子颜色情况是怎样的？
【分析】如图进行操作，当第此操作时，圆圈上的棋子颜色情况与第一次操作后的相同。所以第次操作时圆圈上的棋子颜色与第次操作后的圆圈情况相同。
位同学围成一圈，从某同学开始顺时针报数．第一位同学报，跳过一人第三位同学报，跳过两人第六位同学报，……这样下去，报到为止．报的同学第一次报的是次报数的人的编号为,报的同学，他的最小编号为，我们知道，所以报的同学第一次报年“数学解题能力展示”读者评选活动）在纸上写着一列自然数l，2，…，98，99。一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面。例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15。这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，最初的个数连同后面写下的数纸上出现的所有数的总和是。个数，所以只剩下一个数的话，要经过步操作，即后面要写个数，注意到每一次操作后数和不变。前步操作将个数个个加和放在后边，和等于，接着步操作将写的个数个个加和在后边,和等于，这11个数分别是，，，，。相邻两个相差，
之后还有个数，第一个数是。
最后一个数，
而之间三个数的和等于最后一个数即，
所以这些数的总和等于。
【前铺】将前个正整数顺次写下得到多位数，从首位起将这些数位从1开始编号，然后划去编号是奇数的数位上的数字，这样便形成一个位数较少的多位数，重复上述这种划去数字操作，直至得到一个三位数，则这个三位是______。
【分析】第一次操作后，剩下的全都是偶数位的数字
第二次操作后，剩下的全是的倍数位上的数字；
……………
直到第六次操作后，剩下的全是的倍数位上的数字，
原多位数一共有位，所以此时剩下的是第位、位和位上的数字。
,，所以第位上的是“”的“”；,，所以第位上的是“”的“”，所以剩下的三位数是。
有一叠张卡片，从上到下依次编号为，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片拿掉，把下一张卡片放在这一叠卡片的最下面；再把最上面的依次重复这样做，直到手中剩下一张卡片。那么剩下的这张卡片是原来张卡片的第几张？
【分析】张。
当有（张）卡片时，第一轮过后剩下的是的倍数号卡片，第二轮过后剩下的是的倍数号卡片……第轮过后，剩下的是的倍数号卡片，即就剩下张卡片，是第号卡片。
现在有张卡片，如果拿掉（张）卡片，剩下张卡片，那么就变为上述的情况了。拿掉的第张卡片是编号为（号）的卡片，此时剩下张卡片，下一个要拿掉的是第号卡片，第号是最后一张。所以，剩下的这张卡片是原来的第张。
【点评】关键是从模型中找到规律，这种规律的前提是个数，这就要考量怎么转换条件的问题。
【拓展】（奥数网小学员论文）猫捉耗子是一个有名的游戏，一只猫让个老鼠围成一圈报数，每次吃掉报单数的老鼠，有一只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在哪个位置？数学中称这类问题为猫捉耗子问题。对这类问题通常的做法是从特殊情况出发，逐步发现规律，然后给出求解公式。老师在课堂上介绍了公式以及推导过程，但我认为推导过程较为复杂，不好理解。根据反复试验和观察，本文给出了一种容易理解的求解这类问题的方法。 
方法和例子 
????这里列举这类问题的两种情形。对于每种情形都首先考虑特殊情况，然后从中发现规律。这两种情形都是基于如下前提：从1到编号的个老鼠顺时针围成一圈，从1开始报数。并规定游戏一开始的第一个生存者是1号老鼠。设老鼠的总个数为，最后幸存的老鼠编号为。 
情形1：
? ??1号老鼠生存下来，2号老鼠被猫吃掉；3号老鼠生存下来，4号老鼠被猫吃掉.....就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另一只老鼠，那么最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？ 
????先考虑简单的情况。当有两只老鼠围成一圈时，猫吃掉了2号，1号为最后的幸存者；当有三只老鼠围成一圈时，猫先吃掉了2号，然后是1号，最后的幸存者是3号.....，依次类推，可发现如下规律： 
N 	2 	3 	4 	5 	6 	7 	8 	9 	10 	11 	12 	13 	14 	15 	16 	17 	18 	19 	20 	... 		X 	1 	3 	1 	3 	5 	7 	1 	3 	5 	7 	9 	11 	13 	15 	1 	3 	5 	7 	9 	... 		
??对于这种情况，每次猫都是从两只老鼠中吃掉一只老鼠，可认为2只为一个周期，用m＝2表示；用n表示每个周期内吃掉的老鼠数目，这里是n=1。
情形2：
? ??1号老鼠生存下来，2号、3号老鼠被猫吃掉；4号老鼠生存下来，5号、6号老鼠被猫吃掉.....就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另两只老鼠，依次下去，最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？ 
????先考虑简单的情况。当有三只老鼠围成一圈时，猫吃掉了2号和3号，1号为最后的幸存者；当五只老鼠围成一圈时，猫先吃掉了2号和3号，然后是5号和1号，最后的幸存者是4号.....，依次类推，可发现如下规律： 
N 	3 	5 	7 	9 	11 	13 	15 	17 	19 	21 	23 	25 	27 	29 	31 	33 	... 	81 	83 	... 		X 	1 	4 	7 	1 	4 	7 	10 	13 	16 	19 	22 	25 	1 	4 	7 	10 	... 	1 	4 	... 		?
????对于这种情况，每次猫都是从三只老鼠中吃掉两只，可认为3只为一个周期，即m＝3；每3只中吃掉两只，因此，。
结论 
????通过对上述两种情形的运算结果的观察，发现N的所有可能的取值按照一定的顺序排列后，构成了一个等差数列。该数列的首项，公差（和都是正整数）。 
????而与对应的的取值则构成了若干个等差数列，，，。这些等差数列的公差都为，首项都为。还发现，构成的这些等差数列有这样一个规律：每逢的值为时（和都是正整数），对应的取值就是1。也就是说，当的取值范围从到 之间时，对应的的取值就构成了一个，的等差数列，项数就是从到之间数的个数（包括和这两个数）。 
????那么现在来看看一般情形：如果猫要从个老鼠中吃掉个老鼠，那么最后幸存的老鼠是几号呢？由上面的结论，可以得出这样的求解步骤： 
????1、 首先找到小于的一个最大的数（是正整数，并假设）；? 
????2、 这样就构成一个首项，末项，公差的等差数列，利用公式求出项数; （即， ） 
????3、 因为的每个取值也构成了一个与对应的等差数列，其中，公差为，首项为1，项数为。利用等差数列求末项公式，求出末项； 
（即，） 
????4、 就是与对应的的值，也就是最后唯一幸存老鼠的编
奥数第9讲[1][1].竞赛123班.教师版.doc