第2讲 横式数字谜(一) 在一个数学式子(横式或竖式)中擦去部分数字,或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式,叫做数字谜题目。解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。 例如,求算式324+□=528中□所代表的数。 根据“加数=和-另一个加数”知, □=582-324=258。 又如,求右竖式中字母A,B所代表的数字。显然个位数相减时必须借位,所以,由12-B=5知,B=12-5=7;由A-1=3知,A=3+1=4。 解数字谜问题既能增强数字运用能力,又能加深对运算的理解,还是培养和提高分析问题能力的有效方法。 这一讲介绍简单的算式(横式)数字谜的解法。 解横式数字谜,首先要熟知下面的运算规则: (1)一个加数+另一个加数=和; (2)被减数-减数=差; (3)被乘数×乘数=积; (4)被除数÷除数=商。 由它们推演还可以得到以下运算规则: 由(1),得 和-一个加数=另一个加数; 其次,要熟悉数字运算和拆分。例如,8可用加法拆分为 8=0+8=1+7=2+6=3+5=4+4; 24可用乘法拆分为 24=1×24=2×12=3×8=4×6(两个数之积) =1×2×12=2×2×6=…(三个数之积) =1×2×2×6=2×2×2×3=…(四个数之积) 例1 下列算式中,□,○,△,☆,*各代表什么数? (1)□+5=13-6; (2)28-○=15+7; (3)3×△=54; (4)☆÷3=87; (5)56÷*=7。 解:(1)由加法运算规则知,□=13-6-5=2; (2)由减法运算规则知,○=28-(15+7)=6; (3)由乘法运算规则知,△=54÷3=18; (4)由除法运算规则知,☆=87×3=261; (5)由除法运算规则知,*=56÷7=8。 例2 下列算式中,□,○,△,☆各代表什么数? (1)□+□+□=48; (2)○+○+6=21-○; (3)5×△-18÷6=12; (4)6×3-45÷☆=13。 解:(1)□表示一个数,根据乘法的意义知, □+□+□=□×3, 故□=48÷3=16。 (2)先把左端(○+○+6)看成一个数,就有 (○+○+6)+○=21, ○×3=21-6, ○=15÷3=5。 (3)把5×△,18÷6分别看成一个数,得到 5×△=12+18÷6, 5×△=15, △=15÷5=3。 (4)把6×3,45÷☆分别看成一个数,得到 45÷☆=6×3-13, 45÷☆=5, ☆=45÷5=9。 例3(1)满足58<12×□<71的整数□等于几? (2)180是由哪四个不同的且大于1的数字相乘得到的?试把这四个数按从小到大的次序填在下式的□里。 180=□×□×□×□。 (3)若数□,△满足 □×△=48和□÷△=3, 则□,△各等于多少? 分析与解:(1)因为 58÷12=4……10,71÷12=5……11, 并且□为整数,所以,只有□=5才满足原式。 (2)拆分180为四个整数的乘积有很多种方法,如 180=1×4×5×90=1×2×3×30=… 但拆分成四个“大于1”的数字的乘积,范围就缩小了,如 180=2×2×5×9=2×3×5×6=… 若再限制拆分成四个“不同的”数字的乘积,范围又缩小了。按从小到大的次序排列只有下面一种: 180=2×3×5×6。 所以填的四个数字依次为2,3,5,6。 (3)首先,由□÷△=3知,□>△,因此,在把48拆分为两数的乘积时,有 48=48×1=24×2=16×3=12×4=8×6, 其中,只有48=12×4中,12÷4=3,因此 □=12,△=4。 这道题还可以这样解:由□÷△=3知,□=△×3。把□×△=48中的□换成△×3,就有 (△×3)×△=48, 于是得到△×△=48÷3=16。因为16=4×4,所以△=4。再把□=△×3中的△换成4,就有 □=△×3=4×3=12。 这是一种“代换”的思想,它在今后的数学学习中应用十分广泛。 下面,我们再结合例题讲一类“填运算符号”问题。 例4 在等号左端的两个数中间添加上运算符号,使下列各式成立: (1)4 4 4 4=24; (2)5 5 5 5 5=6。 解:(1)因为4+4+4+4<24,所以必须填一个“×”。4×4=16,剩下的两个4只需凑成8,因此,有如下一些填法: 4×4+4+4=24; 4+4×4+4=24; 4+4+4×4=24。 (2)因为5+1=6,等号左端有五个5,除一个5外,另外四个5凑成1,至少要有一个“÷”,有如下填法: 5÷5+5-5+5=6; 5+5÷5+5-5=6; 5+5×5÷5÷5=6; 5+5÷5×5÷5=6。 由例4看出,填运算符号的问题一般会有多个解。这些填法都是通过对问题的综合观察、分析和试算得到的,如果只是盲目地“试算”,那么就可能走很多弯路。 例5 在下式的两数中间添上四则运算符号,使等式成立: 8 2 3=3 3。 分析与解:首先考察右端“3 3”,它有四种填法: 3+3=6; 3-3=0; 3×3=9; 3÷3=1。 再考察左端“8 2 3”,因为只有一个奇数3,所以要想得到奇数,3的前面只能填“+”或“-”,要想得到偶数,3的前面只能填“×”。经试算,只有两种符合题意的填法: 8-2+3=3×3;8÷2-3=3÷3。 填运算符号可加深对四则运算的理解和认识,也是培养分析能力的好内容。 1.在下列各式中,□分别代表什么数? □+16=35; 47-□=12; □-3=15; 4×□=36; □÷4=15; 84÷□=4。 2.在下列各式中,□,○,△,☆各代表什么数? (□+350)÷3=200; (54-○)×4=0; 360-△×7=10; 4×9-☆÷5=1。 3.在下列各式中,□,○,△各代表什么数? 150-□-□=□; ○×○=○+○; △×9+2×△=22。 4.120是由哪四个不同的一位数字相乘得到的?试把这四个数字按从小到大的次序填在下式的□里: 120=□ ×□×□×□。 5.若数□,△同时满足 □×△=36和□-△=5, 则□,△各等于多少? 6.在两数中间添加运算符号,使下列等式成立: (1)5 5 5 5 5=3; (2)1 2 3 4=1。 7.在下列各式的□内填上合适的运算符号,使等式成立: 12□4□4=10□3。 8.在下列各式的□内填上合适的运算符号,使等式成立: 123□45□67□89=100; 123□45□67□8□9=100; 123□4□5□67□89=100; 123□4□5□6□7□8□9=100; 12□3□4□5□67□8□9=100; 1□23□4□56□7□8□9=100; 12□3□4□5□6□7□89=100。 答案与提示 1.略。 2.□= 250,○=54,△= 50,☆=175。 3.□=50,○=0或2,△= 2。 4.1×3×5×8或1×4×5×6或2×3×4×5。 5.□=9,△=4。 6.(1)5-5÷5-5÷5= 3;(2)1×2+3-4=1。 7.12÷4+4=10-3或12+4÷4=10+3。 8.123-45-67+89=100; 123 + 45- 67+ 8- 9= 100; 123+4-5+67-89=100; 123-4-5-6-7+8-9=100; 12+3-4+5+67+8+ 9=100; 1+23-4+56+7+8+9=100; 12-3-4+5-6+7+89=100。 这一讲主要讲加、减法竖式的数字谜问题。解加、减法数字谜问题的基本功,在于掌握好上一讲中介绍的运算规则(1)(2)及其推演的变形规则,另外还要掌握数的加、减的“拆分”。关键是通过综合观察、分析,找出解题的“突破口”。题目不同,分析的方法不同,其“突破口”也就不同。这需要通过不断的“学”和“练”,逐步积累知识和经验,总结提高解题能力。 例1 在右边的竖式中,A,B,C,D各代表什么数字? 解:显然,C=5,D=1(因两个数 字之和只能进一位)。 由于A+4+1即A+5的个位数为3,且必进一位(因为4>3),所以A+5=13,从而A=13-5=8。 同理,由7+B+1=12,即B+8=12,得到B= 12-8=4。 故所求的A=8,B=4,C=5,D=1。 例2 求下面各竖式中两个加数的各个数位上的数字之和: 分析与解:(1)由于和的个位数字是9,两个加数的个位数字之和不大于9+9=18,所以两个加数的个位上的两个方框里的数字之和只能是9。(这是“突破口”) 再由两个加数的个位数之和未进位,因而两个加数的十位数字之和就是14。 故这两个加数的四个数字之和是9+14=23。 (2)由于和的最高两位数是19,而任何两个一位数相加的和都不超过18,因此,两个加数的个位数相加后必进一位。(这是“突破口”,与(1)不同) 这样,两个加数的个位数字相加之和是15,十位数字相加之和是1
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