第八章 平面向量
知识网络
第1讲 向量的概念与线性运算
★ 知 识 梳理 ★
1．平面向量的有关概念：
（1）向量的定义：既有____大小又有方向_________的量叫做向量.
（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的____长度_____表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a，b，…或用，，…表示.
特别提醒：
模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或||.
零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.
单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.
共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.
相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.
2．向量的线性运算
1.向量的加法：
（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
如图，已知向量a，b，在平面内任取一点，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即 a+b
特殊情况：
对于零向量与任一向量a，有 a a a
（2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______
（3）运算律：____ a+b=b+a；_______，____（a+b）+c=a+（b+c）._______
2.向量的减法：
（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
已知向量a、b，求作向量
∵(a(b) + b = a + ((b) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
作= a, = b, 则= a ( b
即a ( b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
注意：
表示a ( b强调：差向量“箭头”指向被减数
用“相反向量”定义法作差向量，a ( b = a + ((b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一
a∥b∥c a ( b = a + ((b) a ( b
（2）法则：____三角形法则_______
3.实数与向量的积：
（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa与a平行.
（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a， （λ+μ）a=λa+μa， λ（a+b）=λa+λb.
特别提醒：
向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。
重要定理：
向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）.
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：理解向量及与向量相关的概念，掌握向量的几何表示，掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则．
2.难点：掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算．
3.重难点：.
问题1: 相等向量与平行向量的区别
答案：向量平行是向量相等的必要条件。
问题2:向量平行（共线）与直线平行（共线）有区别
答案：直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。
问题3：对于两个向量平行的充要条件：
a∥ba=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a∥b是a=λb的必要不充分条件.
问题4；向量与有向线段的区别：
（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一： 向量及与向量相关的基本概念
题型1. 概念判析
[例1]
(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若，，则；
(7)若，，则 (8)若四边形ABCD是平行四边形,则
(9) 的充要条件是且；
[解题思路]：正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。
解析：解：(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不正确，单位向量的模为1,方向很多 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若，则不共线的向量也有，。(8) 不正确, 如图 （9）不正确，当，且方向相反时，即使，也不能得到；
【名师指引】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定相关命题。
【新题导练】
1． 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.
④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.
评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.
2．下列命题正确的是（ ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.
考点二: 向量的加、减法
题型1: 考查加加、减法运算及相关运算律
[例] 化简
[解题思路]：考查向量的加、减法，及相关运算律。
解法一（统一成加法）
=
=
解法二（利用）
=
=
=
解法三（利用）
设O是平面内任意一点，则=
=
=
【名师指引】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识．在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律．
08 第八章 平面向量.doc
下载此电子书资料需要扣除0点,
