物资分配问题
摘要
在各种各样的抢险救灾行动中，应急物资的合理分配在降低灾害的影响方面体现出重要作用。我们通过对问题的深入理解和分析，将问题归结为非线性规划问题。
我们首先确立了通过合理优化救灾物资的分配使其能最大限度降低灾害的影响为根本分配原则。
     接着我们根据不同物资在维持灾民正常生活中所起到的作用大小不同划定了各物资的优先级，给定了适当的权重；接着综合考虑各个灾民所缺物资的数量、种类、供给量及物资的权重，确定了不同灾民受灾程度的判定标准；随后对受灾情况和物质分配情况进行了矩阵描述。
在此基础上我们用救灾效果表示整个救灾过程使灾情降低的程度，并假设每分配出一个最小单位的救灾物资就相应产生一定量的救灾效果，最终整体救灾效果为它们之和。我们又进一步假设每个最小单位救灾物资产生的救灾效果与分配物资的权重、分配给的灾民受灾程度正相关，得到了基本的数学模型：
单位物资救灾效果 = 该物资权重 × 分配给灾民的受灾程度
最终救灾效果 = 单位物资救灾效果求和
模型的约束条件由各种物资的数量有限得到。我们以最大限度减小灾害影响为分配原则，即最大限度增强最终救灾效果，在此抽象为求解最终救灾效果在约束条件下的最大值。其对应的最优解即为最佳分配方案。
     在模型求解中，我们本着最大程度地发挥各种物资效用的原则，按照物资的优先级从高到低逐一对物资进行了分配。在具体分配某一物资时，首先求得分配结果与产生的救灾效果的函数，继而简化为有约束的多元函数最值问题，并分别采用了MATLAB程序解法和拉格朗日乘数法。
     紧接着我们给出了一个具体灾情，并用量化后的模型求出最优解，通过对结果的分析研究讨论了模型的合理性。
     最后，我们对模型的优缺点进行了讨论，并提出了模型的改进方案，并且对模型的实际应用做了推广。
关键词
     救灾效果  物资权重  受灾程度  单位物资
一、问题重述
某一灾区有N名受灾群众，现有一批救灾物资要发放给这些受灾者。物资共有M种，每种物质的数量有限；各受灾者的灾情不同，对每种物资的急需程度和需求量不同。
你作为一名分配者，请制定分配原则并给出合理的分配方法。
试给出一个符合题意的数值算例。
二、符号说明与基本假设
2.1  符号说明
符号	含义			第i位灾民			第j种物资			第j种物资总量			第i位灾民短缺第j种物资的数量			第i位灾民分配到的第j种物资的数量    			第j种物资的权重			第i位灾民的受灾程度  		                      
基本假设
所有物资对降低灾害的贡献取决于每单位物资贡献之和
每单位物资对降低灾害的贡献与该物资的作用大小正相关
每单位物资对降低灾害的贡献与得到该物资灾民的灾情大小正相关
每种物资的供给均小于需求
三、问题分析与基本思路
为减轻自然灾害的影响，对应急物资分配策略的研究就有了十分重要的意义。通过对问题的分析与理解并结合实际情况，我们给出了抗险救灾中物资分配的基本原则：在应急物资有限的情况下，对救灾物资进行最优分配，使得分配结果能最大限度地降低灾害。我们用最终救灾效果表示物资分配降低灾害的程度，那么分配原则就等价于使最终救灾效果最大。而最终救灾效果又与每单位物资产生的救灾效果有关。通过给出物资权重和受灾程度的概念我们对每单位物资产生的救灾效果进行了数学表示，从而通过求和，最终确定了主函数——最终救灾效果。
在求解模型时，由于非线性离散优化问题的求解十分困难，我们进行了适当的简化，转化为非线性连续优化问题，继而通过MATLAB优化工具箱和拉格朗日乘数法求解了模型。
    在此我们给出整体研究思路：
四、模型的准备
4.1  物资需求状况的描述
某地区遭受灾害的一种表现形式为该地区灾民的各种生活物资出现了不同程度的短缺。为了描述灾情即各个灾民缺少各种物资的量，我们建立了N×M型矩阵A：
其中表示灾民缺少物资的量。
   A中数据由物资分配者通过对灾情的调查得到，均为非负常数。其中A的行向量表示灾民对不同物资的需求量。A的列向量表示整个灾区对物资的需求量情况。
物资权重的说明
由于不同物资在维持灾民正常生活中的作用不同，相同量的不同物资在减轻灾害的效用上不同。为表征物资的这一特性，我们首先将物资化分为四大类，并为其评定了优先级。
优先级	物资大类	举例		最高优先级	关键物资	应急食品：方便面、矿泉水等		较高优先级	基础物资	衣被、棉被等		中等优先级	重要物资	大米、面粉、豆油等		较低优先级	可替代物资	其他生活物资：帐蓬等		
根据物资所属大类及其优先级，按优先级与权重正相关的原则，给于物资合理的权重，规定1  0。
受灾程度的评定
为表征不同灾民受灾严重程度的大小不同，引入函数表示灾民的受灾程度。受灾程度取决于短缺物资的种类和数量，同时受灾程度也与供给物资总量有关，当物资充足，受灾程度就相应较小。
假设某一时刻灾民已分到各物资的量为，
我们定义这一时刻为：
           ，  
分配方案的描述
为了说明某一时刻分配出去物资的情况，我们建立了N×M型矩阵B：
这里表示该时刻已分配给灾民物资的数量。
其中B的行向量表示该时刻灾民已分配到各种物资的数量，B的列向量表示该时刻已分配出物资的情况。
五、模型的建立
5.1  目标函数说明
     设函数y表示最终救灾效果，则目标函数为  ，
（1）设物资的第k个单位量分配给灾民之后产生的救灾效果为。
则由假设2和3可得。
（2）当物资分配该灾民的数量为时，物资在灾民上产生的救灾效果之和为。
（3）物资全部分完后在所有灾民中产生的救灾效果之和为
（4）所有种物资分配完后，得到最终救灾效果为：
从而  
目标函数进一步表示为： 
5.2   约束条件
本题约束条件为：各种物资的数量有限，即物资的分配总量不大于其给供给总量，
通过4.4中矩阵B的列向量，可将约束条件表述为:
同时附加一约束条件：灾民得到物资的量不大于其需求总量，即：
。
六、模型求解
6.1  分配次序的确立
    根据不同物资的优先级，对物资进行排序。考虑到实际救灾中必须优先对关键性物资进行分配，我们按物资的优先级从大到小进行排序，之后再逐一对每种物资进行分配。
     不妨设排序后物资先后顺序为。
6.2   物资的分配方法
按排序后的物资的顺序逐种进行分配，假设已分配了种，现给出第种j物资的分配方法：
（1）设前种物资分配情况为矩阵B’：
用A’表示此时各种灾民物资短缺情况则有
     （2）设对的分配方案为，即灾民分到物资的数量为。
未分时，灾民的受灾程度为：
   当灾民得到1个单位物资时，产生救灾效果为：
  此时，由于得到一个单位，发生变化；当再得到一个单位时，产生救灾效果为：
   以此类推，当得到第个单位时，产生救灾效果为：
综上，当分到的数量为时，产生的救灾效果之和为：
 

08年东三省建模联赛论文C题.doc