第20讲 乘、除法的运算律和性质
　　我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质，利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质，其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。
　　1.乘法的运算律
　　乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变。即
　　a×b=b×a。
　　其中，a，b为任意数。
　　例如，35×120=120×35=4200。
　　乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。即
　　a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。
　　注意：
(1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。即多个数连乘中，可以任意交换其中各数的位置，积不变；多个数连乘中，可以任意先把几个数结合起来相乘后，再与其它数相乘，积不变。
(2)这两个运算律常一起并用。例如，并用的结果有
　　a×b×c=b×(a×c)等。
例1计算下列各题：
(1)17×4×25； (2)125×19×8；
(3)125×72； (4)25×125×16。
　　分析：由于25×4=100，125×8=1000，125×4=500，运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后，再与其它数相乘，以简化计算。
解：
(2)125×19×8
　　=(125×8)×19
　　=1000×19
　　=19000；
(3)125×72
　　=125×(8×9)
　　=(125×8)×9
　　=1000×9
　　=9000；
(4)25×125×16或
　　=25×125×2×8
　　=(25×2)×(125×8)
　　=50×1000
　　=50000，
　　25×125×16
　　=25×125×4×4
　　=(25×4)×(125×4)
　　=100×500
　　=50000。
　　乘法分配律：两个数之和(或差)与一数相乘，可用此数先分别乘和(或差)中的各数，然后再把这两个积相加(或减)。即
　　(a+b)×c=a×c+b×c，
　　(a-b)×c=a×c-b×c。
例2计算下列各题：
(1)125×(40+8)； (2)(100-4)×25；
(3)2004×25； (4)125×792。
解：
(1)125×(40+8)
　　=125×40+125×8 
　　=5000+1000
　　=6000；
(2)(100-4)×25
　　=100×25-4×25
　　=2500-100
　　=2400；
(3)2004×25
　　=(2000+4)×25
　　=2000×25+4×25
　　=50000+100
　　=50100；
(4)125×792
　　=125×(800-8)
　　=125×800-125×8
　　=(125×8)×100-1000
　　=1000×100-1000
　　=1000×(100-1)
　　=99000。
　　2.除法的运算律和性质
　　商不变性质：被除数和除数乘(或除)以同一个非零数，其商不变。即
　　a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0)
　　=(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)
例3计算：
(1)425÷25；(2)3640÷70。
解：
(1)425÷25
　　=(425×4)÷(25×4)
　　=1700÷100
　　=17；
(2)3640÷70
　　=(3640÷10)÷(70÷10)
　　=364÷7
　　=52。
(2)两数之和(或差)除以一个数，可以用这两个数分别除以那个数，然后再求两个商的和(或差)。即
　　(a±b)÷c=a÷c±b÷c。
　　例如，(8+4)÷2=8÷2+4÷2，
　　(9-6)÷3=9÷3-6÷3。
　　此性质可以推广到多个数之和(或差)的情形。例如
　　(1000-688-136)÷8
　　=1000÷8-688÷8-136÷8
　　=125-86-17=22。
(3)在连除中，可以交换除数的位置，商不变。即
　　a÷b÷c=a÷c÷b。
　　在这个性质中，除数的个数可以推广到更多个的情形。例如，
　　168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=……
例4计算下列各题：
(1)(182+325)÷13；
(2)(2046-1059-735)÷3；
(3)775÷25；
(4)2275÷13÷5。
解：(1)(182＋325)÷13
　　=182÷13+325÷13
　　=14+25
　　=39；
(2)(2046-1059-735)÷3
　　=2046÷3-1059÷3-735÷3
　　=682-353-245
　　=84；
(3)775÷25
　　=(700+75)÷25
　　=700÷25+75÷25
　　=28+3=31；
(4)2275÷13÷5
　　=2275÷5÷13
　　=455÷13
　　=35。
　　3.乘、除法混合运算的性质
(1)在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。例如，
　　a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。
(2)在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：
　　括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。即
　　a×(b×c)=a×b×c，
　　a×(b÷c)=a×b÷c。
　　括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即
　　a÷(b×c)=a÷b÷c，
　　a÷(b÷c)=a÷b×c。
　　添加括号情形：
　　加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即
　　a×b×c=a×(b×c)，
　　a×b÷c=a×(b÷c)，
　　a÷b÷c=a÷(b×c)，
　　a÷b×c=a÷(b÷c)。
(3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。即
　　(a×b)÷(c×d)
　　=(a÷c )×(b÷d)
　　=(a÷d)×(b÷c)。
　　上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。
例5计算下列各题：
(1)136×5÷8
　　=136÷8×5
　　=17×5=85；
(2)4032÷(8×9)
　　=4032÷8÷9
　　=504÷9=56；
(3)125×(16÷10)
　　=125×16÷10
　　=256×4
(4)2560÷(10÷4)
　　=2560÷10×4
　　＝1024；
(5)2460÷5÷2
　　=2460÷(5×2)
　　=2460÷10
　　=246；
(6)527×15÷5
　　=527×(15÷5)
　　=527×3
　　=1581；
(7)(54×24)÷(9×4)
　　=(54÷9)×(24÷4)
　　= 6×6=36。
?练习20
　　用简便方法计算下列各题。
　　1.(1)12×4×25；(2)125×13×8；(3)125×56；(4)25×32×125。
　　2.(1)125×(80+4)；(2)(100-8)×25；(3)180×125；(4)125×88。
　　3.(1)1375÷25；(2)12880÷230。
　　4.(1)(128+1088)÷8；
　　(2)(1040-324-528)÷4；
　　(3)1125÷125；
　　(4)4505÷17÷5。
　　5.(1)384×12÷8；
　　(2)2352÷(7×8)；
　　(3)1200×(4÷12)；
　　(4)1250÷(10÷8)；
　　(5)2250÷75÷3；
　　(6)636×35÷7；
　　(7)(126×56)÷(7×18)。

人教版小学三年级数学第20讲 乘、除法的运算律和性质.doc