小学数学奥数基础教程(三年级)小学数学奥数基础教程(三年级)
　　上一讲我们讲了能被2，5整除的数的特征，根据这些特征，很容易就能判别出一个数是否能被2或5整除。同学们自然会问，有没有类似的简便方法，直接判断一个数能否被3整除？
　　我们先具体观察一些能被3整除的整数：
　　18，345，4737，25674
　　18能被3整除，1+8=9也能被3整除；
　　345能被3整除，3+4+5=9也能被3整除；
　　4737能被3整除，4+7+3+7=21也能被3整除；
　　25674能被3整除，2+5+6+7+4=24也能被3整除。
　　怎么这么巧？我们再试一个：7896852能被3整除，7+8+9+6+8+5+2=45也能被3整除。好了，不用再试了，同学们可能已经在想：“是不是所有能被3整除的数的各位数字的和都能被3整除？”结论是肯定的。它的一般性证明这里无法介绍，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
　　由99和9都能被3整除，推知(7×99+4×9)能被3整除。再由741能被3整除，推知(7+4+1)能被3整除；反之，由(7+4+1)能被3整除，推知741能被3整除。
　　因此，判断一个整数能否被3整除的简便方法是：
　　如果整数的各位数字之和能被3整除，那么此整数能被3整除。如果整数的各位数字之和不能被3整除，那么此整数不能被3整除。
例1判断下列各数是否能被3整除：
　　2574，38974，587931。
解：因为2+5+7+4=18，18能被3整除，所以2574能被3整除；
　　因为3+8+9+7+4=31，31不能被3整除，所以38974不能被3整除；
　　因为5+8+7+9+3+1=33，33能被3整除，所以587931能被3整除。
　　为了今后使用方便，我们介绍一个表示多位数的方法。当一个多位数中有一个或几个数字用字母来表示时，为防止理解错误，就在这个多位数的上面划一线段来表示这个多位数。例如，表示这个三位数的百、十、个位依次是3，a，5；又如，表示这个四位数的千、百、十、个位依次是a，b，c，d。
例2六位数能被3整除，数字a=？
解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，数字a只能是2，5或8。即符合题意的a是2，5或8。
例3由1，3，5，7这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？
解：在1，3，5，7这四个数中，任取三个，共有4组：
　　1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7。其中，1+3+5和3+5+7能被3整除，所以，由1，3，5或3，5，7写成的没有重复数字的三位数能被3整除。由1，3，5可写成135，153，315，351，513，531六个三位数；同理，由3，5，7也能写成6个三位数。
　　所以，符合题意的三位数有6×2=12(个)。
例4被2，3，5除余1且不等于1的最小整数是几？
解：除1以外，被2除余1的所有整数是
　　3，5，7，9，11，…，27，29，31，33，…
　　被3除余1的所有整数是
　　4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，…
　　被5除余1的所有整数是
　　6，11，16，21，26，31，36，…
　　上面三列数中，第一个同时出现的数是31，所以31是同时满足被2，3，5除均余1且不等于1的最小数。
例4中使用的方法是解这类题型的基本方法，但不够简捷。一个较简捷的方法是：
　　因为5大于2和3，所以先从被5除余1的数
　　1，6，11，16，21，26，31，36，…
　　中找出第一个(1除外)同时满足被2和3除都余1的数31，就为所求。
　　到五年级学了更多的知识后，还可直接由2×3×5+1=31得到所求数。
例5同时能被2，3，5整除的最小三位数是几？
解：能被5整除的三位数是
　　100，105，110，115，120，125，…其中，第一个能同时被2，3整除的数是120(它是偶数，且1+2+0=3)，故120为所求。 
?练习19
　　1.直接判断25874和978651能否被3整除。
　　3.由2，3，4，5这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？
　　4.(1)被2，3除余1且不等于1的最小整数是几？
(2)被3，5除余2且不等于2的最小整数是几？
　　5.同时能被2，3，5整除的最小自然数是几？
　　6.同时能被2，3，5整除的最大三位数是几？
　　7.一根铁丝长125厘米，要把它剪成长2厘米、3厘米、5厘米的三种不同规格的小段。最多能剪成多少段？
　答案与提示
　　1.不能；能。
　　2.a=0，3，6，9。
　　3.12个。
　　4.(1)7；(2)17。
　　5.30。
　　6.990。
　　7.60段。
　　提示：要使剪成尽量多的小段，2厘米长的应尽量多。因为三种规格都要有，125为奇数，剪去若干个2厘米长的小段后，剩下的长度仍是奇数，所以3厘米、5厘米长的至少要3段，125=114＋3＋3＋5=2×57＋3×2＋5×1，所以2厘米的剪57段，3厘米的剪2段，5厘米的剪1段，此时剪成的小段最多，为
　　57＋2＋1=60(段)。
　小学数学奥数基础教程(三年级)
　　在一个数学式子(横式或竖式)中擦去部分数字，或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式，叫做数字谜题目。解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。
　　例如，求算式324+□=528中□所代表的数。
　　根据“加数=和-另一个加数”知，
　　□=582-324＝258。
　　又如，求右竖式中字母A，B所代表的数字。显然个位数相减时必须借位，所以，由12-B＝5知，B＝12-5＝7；由A-1＝3知，A＝3＋1＝4。
　　解数字谜问题既能增强数字运用能力，又能加深对运算的理解，还是培养和提高分析问题能力的有效方法。
　　这一讲介绍简单的算式(横式)数字谜的解法。
　　解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则：
(1)一个加数+另一个加数=和；
(2)被减数-减数=差；
(3)被乘数×乘数=积；
(4)被除数÷除数=商。
　　由它们推演还可以得到以下运算规则：
　　由(1)，得 和-一个加数=另一个加数；
　　其次，要熟悉数字运算和拆分。例如，8可用加法拆分为
　　8＝0＋8＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4；
　　24可用乘法拆分为
　　24＝1×24=2×12＝3×8＝4×6(两个数之积)
　　=1×2×12＝2×2×6=…(三个数之积)
　　=1×2×2×6＝2×2×2×3=…(四个数之积)
例1 下列算式中，□，○，△，☆，*各代表什么数？
(1)□+5＝13-6； (2)28-○＝15＋7；
(3)3×△=54； (4)☆÷3＝87；
(5)56÷*＝7。
解：(1)由加法运算规则知，□=13-6-5＝2；
(2)由减法运算规则知，○＝28-(15＋7)＝6；
(3)由乘法运算规则知，△＝54÷3＝18；
(4)由除法运算规则知，☆=87×3＝261；
(5)由除法运算规则知，*＝56÷7＝8。
例2 下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？
(1)□+□+□=48；
(2)○＋○＋6＝21-○；
(3)5×△-18÷6＝12；
(4)6×3-45÷☆＝13。
解：(1)□表示一个数，根据乘法的意义知，
　　□+□+□=□×3，
　　故□=48÷3＝16。
(2)先把左端(○＋○＋6)看成一个数，就有
　　(○＋○＋6)＋○＝21，
　　○×3＝21-6，
　　○＝15÷3＝5。
(3)把5×△，18÷6分别看成一个数，得到
　　5×△=12＋18÷6，
　　5×△=15，
　　△=15÷5＝3。
(4)把6×3，45÷☆分别看成一个数，得到
　　45÷☆＝6×3-13，
　　45÷☆＝5，
　　☆＝45÷5＝9。
例3(1)满足58＜12×□＜71的整数□等于几？
(2)180是由哪四个不同的且大于1的数字相乘得到的？试把这四个数按从小到大的次序填在下式的□里。
　　180=□×□×□×□。
(3)若数□，△满足
　　□×△=48和□÷△=3，
　　则□，△各等于多少？
分析与解：(1)因为
　　58÷12＝4……10，71÷12＝5……11，
　　并且□为整数，所以，只有□=5才满足原式。
(2)拆分180为四个整数的乘积有很多种方法，如
　　180＝1×4×5×90＝1×2×3×30＝…
　　但拆分成四个“大于1”的数字的乘积，范围就缩小了，如
　　180＝2×2×5×9＝2×3×5×6＝…
　　若再限制拆分成四个“不同的”数字的乘积，范围又缩小了。按从小到大的次序排列只有下面一种：
　　180＝2×3×5×6。
　　所以填的四个数字依次为2，3，5，6。
(3)首先，由□÷△=3知，□＞△，因此，在把48拆分为两数的乘积时，有
　　48＝48×1＝24×2＝16×3＝12×4＝8×6，
　　其中，只有48＝12×4中，12÷4=3，因此
　　□=12，△=4。
　　这道题还可以这样解：由□÷△=3知，□=△×3。把□×△=48中的□换成△×3，就有
　　(△×3)×△＝48，
　　于是得到△×△=48÷3＝16。因为16＝4×4，所以△=4。再把□=△×3中的△换成4，就有
　　□=△×3=4×3=12。
　　这是一种“代换”的思想，它在今后的数学学习中应用十分广泛。
　　下面，我们再结合例题讲一类“填运算符号”问题。
例4 在等号左端的两个数中间添加上运算符号，使下列各式成立：
(1)4 4 4 4＝24
小学奥数基础教程(附练习题和答案)三年级-30讲全册版.doc