第二十一守恒法 广安岳池 姚文国 应用题中的数量有的是变化的,有的是始终不变的。解应用题时,抓住始终不变的数量,分析不变的数量与其他数量的关系,从而找到解题的突破口,把应用题解答出来的解题方法,叫做守恒法,也叫抓不变量法。 (一)总数量守恒 有些应用题中不变的数量是总数量,用守恒法解题时要抓住这个不变的总数量。 例1 晶晶要看一本书,计划每天看15页,24天看完。如果要12天看完,每天要看多少页?如果改为每天看18页,几天可以看完?(适于三年级程度) 解:无论每天看多少页,总是看这一本书,只要抓住这本书的“总页数不变”这个关键,问题就好办了。 这本书的总页数是: 15×24=360(页) 如果要12天看完,每天要看的页数是: 360÷12=30(页) 如果改为每天看18页,看完这本书的天数是: 360÷18=20(天) 答略。 此题由于第一步是用乘法求出总数,因此也叫做“归总”应用题。 *例2 用一根铁丝围成一个长26厘米,宽16厘米的长方形。用同样长的铁丝围成一个正方形,正方形所围成的面积是多少?(适于三年级程度) 解:这根铁丝的长是不变的量,铁丝围成的长方形的周长和正方形的周长相同。即: 26×2+16×2 =52+32 =84(厘米) 正方形的边长是: 84÷4=21(厘米) 正方形所围成的面积是: 21×21=441(平方厘米) 答略。 解:书架上书总的本数是不变的数量,设它为单位1。从“上层书的本 书总的本数分成5份,上层的书占总本数的 因此,书总的本数是: 原来书架的上层有书: 原来书架的下层有书: 90-18=72(本) (二)部分数量守恒 当应用题中不变的数量是题中的一部分数量时,要抓住这个不变的部分数量解题。 例1 一辆汽车,从甲站到乙站,要经过20千米的平路,45千米的上坡路,15千米的下坡路。如果这辆汽车在平路上每小时行40千米,在上坡路上每小时行30千米,在下坡路上每小时行45千米。照这样的速度行驶,这辆汽车在甲、乙两站间往返一次需要多少时间?(适于五年级程度) 解:无论汽车行驶在平路上、上坡路上,还是在下坡路上,每一段路上的速度是不变的。 这辆汽车往返一次共行:在平路(20+20)千米在上坡路(45+15)千米在下坡路(15+45)千米这辆汽车往返一次需要的时间是: 答略。 例2 有含盐15%的盐水20千克,要使盐水含盐10%,需要加水多少千克?(适于六年级程度)解:题中盐的重量是不变的数量,盐的重量是: 20×15%=3(千克) 在盐水含盐10%时,盐的对应分率是10%,因此盐水的重量是: 3÷10%=30(千克) 加入的水的重量是: 30-20=10(千克) 答略。 解:文艺书的本数是不变的数量。文艺书有: =720(本) 从后来两种书总的本数中减去原来两种书总的本数,得到买进科技书的本数: 720-630=90(本) 综合算式: =720-630 =90(本) 答略。 (三)差数守恒 当应用题中两个数量的差是不变的数量时,要抓住这个差,分析数量关系解题。 例1 父亲今年35岁,儿子5岁。多少年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍?(适于四年级程度) 解:父子年龄的差是个不变的数量,始终是35-5=30(岁) 在父亲年龄是儿子年龄的3倍时,父子年龄的差恰好是儿子年龄的2倍。 因此,这时儿子的年龄是: 30÷2=15(岁) 15-5=10(年) 答:10年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍。 *例2 小明有200个枣,大平有120个枣。两人吃掉个数相同的枣后,小明剩下的枣是大平剩下枣的5倍。问两个人一共吃掉多少个枣。(适于四年级程度) 解:两个人相差的枣的个数是不变的数量: 200-120=80(个) 两人吃掉个数相同的枣后,小明剩下的枣是大平剩下枣的5倍。这就是说大平剩下的枣是1份数,小明剩下的枣比大平剩下的枣多4份数。因为两人吃掉的枣的个数相同,所以相差数还是80个。这80个是4份数。 因此,大平剩下的枣是其中的一份数: 80÷4=20(个) 大平吃掉的枣是: 120-20=100(个) 因为两个人吃掉的枣一样多,所以一共吃掉枣: 100×2=200(个) 答略。 *例3 有甲、乙两个车间,如果从甲车间调出18人给乙车间,甲车间就比乙车间少3人;如果从两个车间各调出18人,乙车间剩下人数就是甲车间 解:由“从甲车间调出18人给乙车间,甲车间就比乙车间少3人”可看出,甲车间比乙车间多2个18人又少3人,即甲车间比乙车间多: 18×2-3=33(人) 由“从两个车间各调出18人,乙车间剩下的人数就是甲车间剩下人数的 甲车间原有的人数是: 88+18=106(人) 乙车间原有的人数是: 106-33=73(人) 答略。 *例4 甲种布的长是乙种布长的3倍。两种布各用去8米时,甲种布剩下的长是乙种布剩下长度的4倍。两种布原来各长多少米?(适于六年级程度) 解:甲、乙两种布的长度差是不变的数量,解题时要以这个不变的数量作为标准量。 原来乙种布的长是标准量的: 乙种布先后两个分率的差是: 乙种布的长是: 甲种布的长是: 48+24=72(米) 答略。 二十二两差法解应用题时,首先确定一个标准数(即1倍数),再根据已知的两数差与倍数差,用除法求出1倍数,然后以此为基础,用乘法求出另一个数的解题方法,叫做两差法。用两差法一般是解答差倍问题。 差倍问题的数量关系是: 两数差÷倍数差=1倍数 1倍数×倍数=几倍数 较小数+两数差=较大数 例1 某厂女职工人数是男职工人数的6倍,男职工比女职工少65人。这个厂男女职工共有多少人?(适于四年级程度) 解:根据“人数差÷倍数差=1倍数”,有: 65÷(6-1)=13(人) 那么,这个厂男女职工共有的人数是: 13×(6+1)=91(人) 答略。 例2 小李买3本日记本,小华买同样的8本日记本,比小李多用2.75元。小李、小华两人分别用去多少钱?(适于五年级程度) 解:小华比小李多用2.75元(总价差),是因为小华比小李多买(8-3)本(数量差)日记本,用这两个差求出每本日记本的价钱。 小李用的钱数是: 0.55×3=1.65(元) 小华的钱数是: 0.55×8=4.40(元) 答略。例3 甲、乙两数的差是28,甲数是乙数的3倍。问甲乙两数各是多少?(适于四年级程度) 解:甲-乙=28,甲是乙的3倍,那么乙就是1倍数,28所对应的倍数是3-1=2(倍),则乙数可以求出。解法是: 28÷(3-1)=14……………………………乙数 14×3=42…………………………………甲数 答:甲数是42,乙数是14。 例4 一个植树小组植树。如果每人栽5棵,还剩14棵;如果每人栽7棵,就缺4棵。这个植树小组有多少人?一共有多少棵树苗?(适于五年级程度) 解:把题中的条件简要摘录如下: ?????? 每人5棵?????? 剩14棵 ?????? 每人7棵?????? 缺4棵 比较两次分配的情况可看出,由于第二次比第一次每人多栽(7-5)棵,一共要多栽(14+4)棵树。根据两次每人栽的棵数差和所栽总棵数的差,可求出植树小组的人数,然后再求出原有树苗的棵数。 (14+4)÷(7-5)=9(人)……………………人数 5×9+14=59(棵)……………………………棵数 答略。 例5 用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进3杯水,连瓶共重440克;如果倒进5杯水,连瓶共重600克。一杯水和一个空瓶各重多少克?(适于五年级程度) 解:解这类题,要先找出“暗差”的等量关系,再找解题的最佳方法。 这道题的“暗差”有两个:一个是5-3=2(杯),另一个是600-440=160(克)。这里两个暗差的等量关系是:2杯水的重量=160克。 这样就能很容易求出一杯水的重量: 160÷2=80(克) 一个空瓶的重量: 440-80×3=200(克) 答略。 *例6 甲从西村到东村,每小时步行4千米。3.5小时后,乙因有急事,从西村出发骑自行车去追甲,每小时行9千米。问乙需要几小时才能追上甲?(适于高年级程度) 解:乙出发时,甲已经行了(4×3.5)千米,乙每行1小时便可比甲每小时多行(9-4)千米,那么(4×3.5)千米中含有几个(9-4)千米,乙追上甲就需要多少个小时。所以: 答:乙需2.8小时才能追上甲。 例6是典型的“追及问题”。由此可知,追及问题也可以利用两差法来解答。 *例7 某电风扇厂生产一批电风扇。原计划每天生产120台电风扇,实际每天比原计划多生产30台,结果提前12天完成任务。这批电风扇的生产任务是多少台?(适于高年级程度) 解:在同样的时间(计划天数)里,实际比原计划多生产电风扇的台数是:(120+30)×12。因为实际每天比原计划多生产30台,因此: 计划完成任务的天数是60天,那么这批电风扇的生产任务就是: 120×60=7200(台) 答略。 *例8 甲每小时走5千米,乙每小时走4千米,两人同走一段路,甲比乙少用了3小时。问这段路长多少千米?(适于五年级程度) 解:解答这道题应从“差异”入手。因为凡是发生差异必定有它的道理。题中的差异是“甲比乙少用了3小时”,抓住它作如下追问,即可发现解题途径。 为什么会“甲比乙少用了3小时”?因为甲比乙的速度快。 (1)在3个小时里甲比乙多走多少千米的路呢?在3小时里甲比乙正好多走: 4×3=12(千米) (2)甲每小时可以追上乙多少千米呢? 5-4=1(千米) (3)走完这12千米的差数甲要走几小时呢? 12÷
小学数学奥数方法讲义40讲(三).doc
下载此电子书资料需要扣除0点,