2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编
第44章   动态问题
一、选择题
1. （2011安徽，10，4分）如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（      ）
A． 						B． 		 			C．  					D．
【答案】  
2. （2011山东威海，12，3分）如图，
在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（   ）
【答案】3. （2011甘肃兰州，14，4分）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是
A．				B．					C．				D．
【答案】
4. 
二、填空题
1.
2. 
3. 
4. 
5. 
三、解答题
1. （2011浙江省，24，12分）已知直线（＜0）分别交轴、轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒．
（1）当时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．
① 直接写出＝1秒时C、Q两点的坐标；
② 若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求的值．
（2）当时，设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D（如图2），
① 求CD的长；
② 设△COD的OC边上的高为，当为何值时，的值最大？ 
【答案】（1）①C（1，2），Q（2，0）．
②由题意得：P(t，0)，C(t，－ｔ＋3)，Q(3－t，0)，
分两种情形讨论：
情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，∴点P与点Q重合，OQ=OP，即3－t=t，∴t=1.5．
情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB＝90°，∵OＡ=OＢ＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ是等腰直角三角形，∵CQ⊥OA，∴AQ=2CP，即t =2（－t ＋3），∴t=2．∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒．
(2) ①由题意得：C(t，－＋3)，∴以C为顶点的抛物线解析式是，
由，解得x1=t，x2=t；过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB＝90°，DE∥OA，∴∠EDC=∠OAB，∴△DEC∽△AOB，∴，
∵AO=4，AB=5，DE=t－（ｔ－）=．∴CD=．
②∵CD=，CD边上的高=．∴S△COD=．∴S△COD为定值；
要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短．
因为当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为，∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠COP＝90°－∠BOC＝∠OBA，又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽Rt△OAB，
∴，OP=，即t=，∴当t为秒时，h的值最大．
2. 如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）.
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作⊥x轴，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设（2）的条件下（不考虑点P与点O，点G重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平等四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由.
【解】，得
把x=3代入，得，
   ∴A、B两点的坐标分别（0，1）、（3，）
设直线AB的解析式为，代入A、B的坐标，得
，解得
所以，
（2）把x=t分别代入到和
分别得到点M、N的纵坐标为和
∴MN=-（）=
即
∵点P在线段OC上移动，
∴0≤t≤3.
(3)在四边形BCMN中，∵BC∥MN
∴当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形
由，得
即当时，四边形BCMN为平行四边形
当时，PC=2，PM=，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=,
此时BC=CM=MN=BN，平行四边形BCMN为菱形；
当时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=,
此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形；
所以，当时，平行四边形BCMN为菱形．
3. （2011江苏扬州，28,12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AB AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N，动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动。同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP。设运动时间为t秒（t 0）
（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；
（2）若∠ABC=60o，AB=4厘米。
① 求动点Q的运动速度；
② 设Rt△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；
（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由。
【答案】解：（1）△PBM与△QNM相似；
∵MN⊥BC  MQ⊥MP ∴  ∠NMB=∠PMQ=∠BAC =90o
∴∠PMB=∠QMN, ∠QNM=∠B =90o－∠C
∴ △PBM∽△QNM
（2）①∵∠ABC=60o，∠BAC =90o,AB=4,BP=t
∴AB=BM=CM=4,MN=4  
∵ △PBM∽△QNM
∴     即：
∵P点的运动速度是每秒厘米，
∴ Q点运动速度是每秒1厘米。
②  ∵ AC=12,CN=8
∴ AQ=12-8+t=4+t,  AP=4－t
         ∴ S==
（3）  BP2+ CQ2 =PQ2
 证明如下： ∵BP=t,    ∴BP2=3t2  
∵CQ=8-t      ∴CQ2=(8-t)2=64-16t+t2
∵PQ2=(4+t)2+3(4-t)2=4t2-16t+64
∴BP2+ CQ2 =PQ2
4. 图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标．
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．
【答案】解：……………………2分．
过点P作PG⊥BC于G．
∵四边形ABCP为菱形，
∴BC=PA=PB=PC．
∴△PBC为等边三角形．
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，[来源:学科网]
PG=．
sin∠PBG=，即．
解之得：x=±2（负值舍去）．
∴ PG=，PA=BC=2．……………………4分G－BG=1，OC=OG+GC=3．
∴ A（0，），B（1，0）  C（3，0）．……………………6分y=ax2+bx+c．
据题意得：
解之得：a=， b=， c=．
∴二次函数关系式为：．……………………9分
解之得：u=， v=．
∴直线BP的解析式为：．
过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为：．
解方程组：
得： ； ．
过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：．
  ∴0=．    
  ∴．
∴直线CM的解析式为：．
解方程组：
得： ； ．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．…………………12分，
∴A（0，），C（3，0）显然满足条件．
延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴．
∴点M的纵坐标为．
又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．
∴点M（4，）符合要求．
点（7，）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．…………………12分AM∥BC，
∴．
∴点M的纵坐标为．
即．
解得：（舍），．
∴点M的坐标为（4，）．
点（7，）的求法同解法一．
综上可知，满足条件的M的坐标有四个，
分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．…………………12分5. （2011山东菏泽，21，9分）如图，抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断的形状，证明你的结论；
（3）点是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．
（1）把点A(－1，0)的坐标代入抛物线的解析式y＝x2＋bx－2，
       整理后解得，
所以抛物线的解析式为  ．
顶点．          
（2），．   
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′，OC′．连接C′D交x轴于点M，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，的值最小．
设抛物线的对称轴交轴于点．△C′OM∽△DEM．
．．．
6. 
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过
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