初中数学竞赛辅导资料(11) 二元一次方程组解的讨论 甲内容提要 二元一次方程组的解的情况有以下三种: 当时,方程组有无数多解。(∵两个方程等效) 当时,方程组无解。(∵两个方程是矛盾的) 当(即a1b2-a2b1≠0)时,方程组有唯一的解: (这个解可用加减消元法求得) 方程的个数少于未知数的个数时,一般是不定解,即有无数多解,若要求整数解,可按二元一次方程整数解的求法进行。 求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解(把待定系数当己知数),再解含待定系数的不等式或加以讨论。(见例2、3) 乙例题 例1. 选择一组a,c值使方程组 有无数多解, ②无解, ③有唯一的解 解: ①当 5∶a=1∶2=7∶c时,方程组有无数多解 解比例得a=10, c=14。 当 5∶a=1∶2≠7∶c时,方程组无解。 解得a=10, c≠14。 ③当 5∶a≠1∶2时,方程组有唯一的解, 即当a≠10时,c不论取什么值,原方程组都有唯一的解。 例2. a取什么值时,方程组 的解是正数? 解:把a作为已知数,解这个方程组 得 ∵ ∴ 解不等式组得 解集是6 答:当a的取值为6时,原方程组的解是正数。 例3. m取何整数值时,方程组的解x和y都是整数? 解:把m作为已知数,解方程组得 ∵x是整数,∴m-8取8的约数±1,±2,±4,±8。 ∵y是整数,∴m-8取2的约数±1,±2。 取它们的公共部分,m-8=±1,±2。 解得 m=9,7,10,6。 经检验m=9,7,10,6时,方程组的解都是整数。 例4(古代问题)用100枚铜板买桃,李,榄橄共100粒,己知桃,李每粒分别是3,4枚铜板,而榄橄7粒1枚铜板。问桃,李,榄橄各买几粒? 解:设桃,李,榄橄分别买x, y, z粒,依题意得 由(1)得x= 100-y-z (3) 把(3)代入(2),整理得 y=-200+3z- 设(k为整数) 得z=7k, y=-200+20k, x=300-解得(k是整数) ∴10<k , ∵k是整数, ∴k=11 即x=3(桃), y=20(李), z=77(榄橄) (答略) 丙练习11 不解方程组,判定下列方程组解的情况: ① ② ③ a取什么值时方程组的解是正数? a取哪些正整数值,方程组的解x和y都是正整数? 要使方程组的解都是整数, k应取哪些整数值? (古代问题)今有鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡,鸡翁,鸡母,鸡雏都买,可各买多少? 返回目录 参考答案 上一页 下一页 27
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