在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中。在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位。因此在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程的试值技巧
不定方程的经典题例
庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知个大和个馒头，个小和尚每天共吃个馒头，平均?
【分析】设有个大和尚，个小和尚，则共吃个馒头。由，化简为。当，时和尚最少，有拆成两个数的和，一个是的倍数（要尽量小），一个是的倍数（要大），求这两个数。
【分析】这是一道整数分拆的常规题。可列式，要让取最大值，可把式子变形为，当时，。则的拆的两个数一是，。这种不定方程的变形求解是较实用的方法。
或者直接把除以余，不是的倍数，只能退出若干个，与余数合起来是，，，，，直到出现的倍数为止。
马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付元，乙公司每月付给他薪金元．年终，马小富从两家公司共获薪金元．他在甲公司打工个月，在乙公司兼职个月
【分析】设马小富在甲公司打工月，在乙公司兼职月(，、都是不大于的自然数)，则有若为偶数，则的末位数字为，从而的末位数字必为，这时．但时，，这与矛盾，所以必为奇数．为奇数时，的末位数字为，从而的末位数字为，或．但时同样会导出，与矛盾．所以，．于是马小富在甲公司打工个月，在乙公司兼职个月小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总天，发现它们并不是每天早晚都见天内它们共叫了声。：波斯猫至少了多少声?     早晨见面小花狗和波斯猫共叫声，晚上见面共叫声。设早晨见次，晚上见面次。根据题意有    （，）。时，；当时，；当时，。为 声，越大，小花狗叫得越多，波斯猫叫得越少，，时波斯猫叫得最少，共叫(声)。名男女选手参加初赛，经过初赛、复赛，最后确定了参加决赛的人选。已知参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的；参加决赛的女选手的人数，占初赛的女选手人数的，而且比参加初赛的男选手的人数多。参加决赛的男、女选手各有多少人？
【分析】由于参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的；参加决赛的女选手的人数，占初赛时女选手人数的，所以参加初赛的男选手应是的倍数，参加初赛的女选手应是的倍数。
设参加初赛的男生为人，参加初赛的女生为人。
根据题意可列方程。
解得，或。又因为参加决赛的女选手的人数，比参加决赛的男选手的人数多。所以第一组解不合适，只有，。
故参加决赛的男选手为人，女选手为人。
若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式
“”，“”表示的六位数最少是______。
【分析】设“”。“”。于是。即，亦即。从而整除，并且整除，为使满足条件的“”尽可能小，我们应该取，，但此时有相同的数字，不符合题意；再取，，此时满足条件，于是所求为。
某市电话号码原为位数，第一次升位是在首位和第二位数字之间加上成为一个位数，第二次升位是在首位数字前加上成为一个位数，某人发现他家中的电话号码升位后的八位数恰好位原来的六位数的电话号码的倍，那么原来的电话号码是______。
【分析】设原来的电话号码的第一位数是，后五位数是。根据题意列方程
即
因为为数字，的位数不超过，推算得，，所以原来的电话号码是。
某男孩在年月日说：“我活过的月数以及我活过的年数之差”，到今天为止正好就是。”请问：他是在哪一天出生？
【分析】设男孩的年龄为个年和个月，即个月，由此有方程式成立，也就是，，，所以，而且，从年月日那天退回年和个月就是他的生日。年月日。
【拓展】若干学生搬一堆砖，若每人搬块，则剩下块未搬走，若每人搬块，则最后一名学生只搬块，那么学生共有______人。
【分析】设有个学生，根据砖的数量可得方程
，。因为是质数，所以和中一个是，另一个是，因为，所以。学生人数为人。
有一项工程，甲单独做需天，乙单独做需要天完成，丙单独做需要天完成，现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天，那么丙休息了______天。
【分析】设这项工程用了天，丙休息了天。
，，。
由上式，因为与都是的倍数，所以必须是的倍数，所以是的倍数，在 的条件下，只有，一组解，即丙休息了天。
头牛卖个金币，头猪卖个金币，只羊卖个金币。有人用个金币买了三种牲畜共头（只），问牛、猪、羊各买了多少头（只）？
【分析】如果用未知数、、分别表示所买的牛、猪、羊的头（只）数，则可以根据它们的总数是头（只）和三种牲畜的总价之和是个金币，分别列出方程。
由，得。即。
因、、都是自然数，所以可取、、，相应地，的取值是、、。
把、,、、、分别代入，依次可取、、。
因此有三种买法：牛头，猪头，羊只；牛头，猪头，羊只；牛头，猪头，羊只。
注：题说“有人用个金币买了三种牲畜共头”表示三种牲畜都买了，所设的、、 必不包括。
某次数学竞赛准备了支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发给支，二等奖每人发给支，三等奖每人发给支，后来改为一等奖每人发支，二等奖每人发支，三等奖每人发支．那么获二等奖的有___人
【分析】 （法一）根据“后来改为一等奖每人发支”，可以确定获一等奖的人数。否则仅一等奖就要发不小于支铅笔，已超过支，这是不可能的分别考虑一等奖有人或者人的情况：获一等奖有人时，改变后这人共多得支而每等奖与每个三等奖的合在一起，仍然共得支铅笔，这表明三等奖应比二等奖多人，他们少得的铅笔数正好是一等奖多得的，但    所以这种情况不可能发生             获一等奖有1人时，类似前种情况的讨论，可以确定获三等奖的人数比二等奖多人，获二等奖的有(人)经检验，获一等奖人，获二等奖人，获三等奖人符合题目要求、、人，则有方程组：
将消元，则有，显然的该届方程的正整数解只有，继而可得到。所以获一、二、三等奖的人数分别有、、人。
某次聚餐，每一个男宾付元，每一位女宾付元，每带一个孩子付元，现在的   成人各带一个孩子，总共收了元，问：这活动共有多少人参加（成人和孩子）？
【分析】设男宾有人，女宾有人，则由题意得方程
，即，
有四组解：，，和，
但能被整除，只能取后两组。
所以，这活动共有人或人参加。
【拓展】单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有三分之一的职工各带一个孩子参加。男职工每人种棵树，女职工每人种棵树，每个孩子都种棵树，他们一共种了棵树，那么其中有多少名男职工？
【分析】因有的职工各带一个孩子参加，则职工总人数是的倍数。
设男职工有人，女职工人。则职工总人数是人，孩子是人。
得到方程：。
化简得：。
因男职工与女职工的人数都是整数。
所以当时，；当时，；当，。
，是的倍数。符合题意。
，不是的倍数。不合题意。
所以其中有12名男职工。
【拓展】有两小堆砖头，如果从第一堆中取出块放到第二堆中去，那么第二堆将比第一堆多一倍。如果相反，从第二堆中取出若干块放到第一堆中去，那么乙一队将是第二堆的倍。问：第一堆中的砖头最少有多少块？
【分析】设第一堆砖有块，则第二堆砖有块。
再设从第二堆中取出块放在第一堆，第一堆将是第二堆的倍，可列方程
，
。
因为是整数，与互质，所以应是的倍数，最小是。推知最小是，所以，砖头最少有块。
码头在码头的的上游，遥控舰模从码头出发，在两个码头之间往返航行，已知舰模在静水中的速度是每分钟米，水流的速度是每分钟米，出发后分钟，舰模位于码头的下游米。问：码头和码头之间的距离是多少米？
【分析】舰模从码头顺流而下米，航行时间（分钟），（分钟）。因此，舰模出发后第分钟又回到码头。所以，在这分钟中，舰模顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同。
设在分钟中，舰模顺流航行的时间为，逆流航行的时间是，顺流航行的速度为（米/分钟），应当有，解得（分钟）。
因此，出发分钟后舰模的总的航程是
（米）。
（2）设两个码头的距离是米，则
，其中是整数，则。
由于，所以，，即，米。所以两个码头之间的距离为米。
如图，小明家和小强家相距千米，小强家与公园相距千米．小明从家骑车小强从家出发，步行去公园．当小明到达学校时，他立即弃车步行；又过会，当小强到达学校时，他立即开始骑车．两人同时于下午到达公园．如果两人?
【分析】设相距千米，骑车速度和步行速度为和。那么有：
三个未知数有两个方程，显然要么无解，要么有无数组解。
事实上只要注意到：
方程满足时，取任意值，都成立。但是步行速度和骑车速度是不可能相等的。
两方程相加得到：，,
代入第一条方程：。
因式分解：，因为，所以千米。
如图是一种电脑射击游戏的示意图：线段，和的长度都是厘米，，，分别是它们的中点，并且位于同一条线段上，厘米，．已知上的小圆环的速度是每秒厘米上小圆环的速度是每秒厘米，上小圆环的速度是每秒厘米零时刻，，，上各有一个小圆环从左端点同时开始在线段上往返运动问：此时，从点向发射一颗子弹，要想穿过三个圆环，子弹的速度最大为少厘米。则有：
D上的圆环：；  ①
；  ②
子弹穿过上的圆环： ．  ③
 这里＜都是正整数。解①，得到
 代入②，得到：
    ；
 代入③，得到： 
    ，
和互质，并且，要求速度最大，则正整数应当尽可能小，所以，，入，。
小龙的储蓄罐里有角、角、元三种硬币，正好是元，他的储蓄罐里硬币的总枚数有多少种可能？
第8讲.竞赛123班.教师版.doc