第27讲 巧用矩形面积公式 同学们都知道求正方形和长方形面积的公式: 正方形的面积=a×a(a为边长), 长方形的面积=a×b(a为长,b为宽)。 利用这两个公式可以计算出各种各样的直角多边形的面积。例如,对左下图,我们无法直接求出它的面积,但是通过将它分割成几块,其中每一块都是正方形或长方形(见右下图),分别计算出各块面积再求和,就得出整个图形的面积。 例1 右图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度(单位:米)。这个图形的面积等于多少平方米? 分析与解:将此图形分割成长方形有下面两种较简单的方法,图形都被分割成三个长方形。根据这两种不同的分割方法,都可以计算出图形的的面积。 5×2+(5+3)×3+(5+3+4)×2=58(米2); 或 5×(2+3+2)+3×(2+3)+4×2=58(米2)。 上面的方法是通过将图形分割成若干个长方形,然后求图形面积的。实际上,我们也可以将图形“添补”成一个大长方形(见下图),然后利用大长方形与两个小长方形的面积之差,求出图形的面积。 (5+3+4)×(2+3+2)-2×3-(2+3)×4=58(米2); 或 (5+3+4)×(2+3+2)-2×(3+4)-3×4=58(米2)。 由例1看出,计算直角多边形面积,主要是利用“分割”和“添补”的方法,将图形演变为多个长方形的和或差,然后计算出图形的面积。其中“分割”是最基本、最常用的方法。 例2 右图为一个长50米、宽25米的标准游泳池。它的四周铺设了宽2米的白瓷地砖(阴影部分)。求游泳池面积和地砖面积。 分析与解:游泳池面积=50×25=1250(米2)。 求地砖面积时,我们可以将阴影部分分成四个长方形(见下图),从而可得白瓷地砖的面积为 (2+25+2)×2×2+50×2×2=316(米2); 或 (2+50+2)×2×2+25×2×2=316(米2)。 求地砖的面积,我们还可以通过“挖”的方法,即从大长方形内“挖掉”一个小长方形(见右图)。从而可得白瓷地砖面积为 (50+2+2)×(25+2+2)-50×25 =316(米2)。 例3 下图中有三个封闭图形,每个封闭图形均由边长为1厘米的小正方形组成。试求各图形的面积。 解:每个小方格的面积为1厘米2。 图(1)可分成四个凸出块和一个中间块,这五块的面积都是2×2=4(厘米2)。图(1)的面积为 4×5=20(厘米2)。 图(2)可以看成是从长7厘米、宽6厘米的长方形中,“挖掉”4个边长为2厘米的正方形。它的面积等于 7×6-(2×2)×4=26(厘米2)。 图(3)像个宝鼎,竖行分割,从左至右分成五块,每块面积依次为2,5,3,5,2厘米2,总面积为 2+5+3+5+2=17(厘米2)。 例3中分割成正方形、长方形的方法很多,因而具体计算面积的方法也很多。由于图形内所含方格数不多,所以也可以通过数图中小方格的数目来求得面积。 例4 一个长方形的周长是22厘米。如果它的长和宽都是整数厘米,那么这个长方形的面积(单位:厘米2)有多少种可能值?最大、最小各是多少? 解:因为长方形的周长是22厘米,所以它的长、宽之和是22÷2=11(厘米)。考虑到长、宽都是整数厘米,只有如下情形: 所以,这个长方形的面积有五种可能值:10,18,24,28,30厘米2。最大是30厘米2,最小是10厘米2。 练习27 1.甲、乙两块地都是长方形,且一样长。 (1)如果甲地面积是乙地面积的2倍,那么甲地的宽是乙地的宽的多少倍? (2)如果甲地的宽是乙地的宽的3倍,那么甲地面积是乙地面积的多少倍? 2.求下列各图的面积。(单位:厘米) 3.把边长为40米的正方形运动场扩为长60米、宽50米的长方形运动场。此运动场面积扩大了多少?周长增加了多少? 4.一个正方形的面积是144米2。如果它被分成六个相同的长方形(如左下图),那么,其中一个长方形的面积和周长各是多少? 5.右上图是用30根长4厘米的小棍摆成的图形。这个图形的面积是多少?用这些小棍摆成的面积最大的直角多边形比这个图形的面积大多少? 6.左下图的面积是52厘米2,其中每个小方格都是一个正方形。这个图形的外沿的周长是多少? 7.右上图由11个同样的正方形组成。如果这个图形的周长是96厘米,那么它的面积是多少?
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