C4-021? 如图,AO⊥平面BOC,点O在平面ABC内的射影H是 BC-O的大小. 【题说】? 1993年四川省高中数学联赛题4.【解】? 设AH交BC于E,则BC⊥AE,又BC⊥AO.所以∠AEO是二面角A-BC-O的平面角.设∠AEO=θ,由于OB在平面ABC内的射影BD⊥AC,所以OB⊥AC.从而AC在平面BOC内的射影? C4-022? 对V个顶点,E条棱,F个面的凸多面体有欧拉公式V-E+F=2.某一个凸多面体有32个面,每个面是三角形或五边形.V个顶点,在每一个顶点处,有T个三角形面和P个五边形面相交.求100P+10T+V=?【题说】? 第十一届(1993年)美国数学邀请赛题10.【解】? 250.由F-E+V=2,F=32,得E=V+30.因为每个顶点处有T+P个面相交,所以每个顶点处有T+P条棱,2E=V(T+P).从而V(T+P)=2(V+30)即??????????????????????????????????????????? V(T+P-2)=60??????????????????????????????????? (1)每个三角形面有3个顶点,所以VT将每个三角形面算了3次,故三 或五边形,所以 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (2)由(1)、(2)消去V得3T+5P=16 此方程有唯一的非负整数解T=P=2.从而,由(1)V=30,所以100P+10T+V=250.? C4-023? 已知空间四面体ABCD中,AB2+CD2=BC2+DA2,求AC和BD所成的角的度数.【题说】? 1994年江苏省高中数学竞赛题4.【解】? 分别在面ABC、ACD中,过B、D作AC的垂线,垂足分别为E与F,则AB2-BC2=AE2-CE2=AC(AE-CE)AD2-CD2=AC(AF-CF)由已知,AC(AE-CE)=AC(AF-CF),即AE-EC=AF-FC,所以E与F重合,从而AC与△BDE所在平面垂直,即AC和BD所成的角为90°.? C4-024? 如图,正方体ABCD-EFGH的面AFH和面BDE的交角为θ(0°≤θ≤90°),求cosθ. 【题说】? 1994年日本数学奥林匹克预选赛题3.【解】? 如图,平面AFH与BDE的交线为MN,M、N分别是正方形ADHE,ABFE的中心.设AC交BD于K,EK交MN于L,连AL.由△EBD是正三角形,M、N、K分别是三边中点知KL=LE并且EK⊥MN,又△AMN中AM=AN,所以中线AL⊥MN.于是∠ALK为面AFH与面BDE的交角.由AL=LE=KL知,∠ALK=2AEK,故? C4-025? 求曲面S:x2-4y2+z2-12xy=20与平面L:2x+3y+z=3的交线所围成的部分的面积.【题说】? 1995年日本数学奥林匹克预选赛题10.【解】? 由平面L的方程得z=3-2x-3y,代入曲面S并整理得:
23786_数学奥林匹克题解C几.doc
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