《圆》基础测试
（一）选择题（每题2分，共20分）
1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有………………（    ）
（A）4个   （B）3个    （C）2个    （D）1个
【提示】若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆，故②不对．【答案】B．
【点评】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念，其中第②个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件．
2．下列判断中正确的是………………………………………………………………（    ）
（A）平分弦的直线垂直于弦（B）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
（C）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧（D）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
【提示】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧．【答案】C．
3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB＝∠A′OB′＝60°，则………………（    ）
（A）＝（B）＞
（C）的度数＝的度数
（D）的长度＝的长度
【提示】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，
而∠AOB＝∠A′OB′，所以的度数＝的度数．【答案】C．
4．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于………………………………………………………………………（    ）
（A）60°    （B）100°   （C）80°   （D）130°
【提示】连结BC，则∠AEC＝∠B＋∠C＝×60°＋×100°＝80°．
【答案】C．
5．圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数比是2︰3︰6，则∠D的度数是（    ）
（A）67.5°    （B）135°    （C）112.5°    （D）110°
【提示】因为圆内接四边形的对角之和为180°，则∠A＋∠C＝∠B＋∠D＝180°．又因为∠A︰∠B︰∠C＝2︰3︰6，所以∠B︰∠D＝3︰5，所以∠D的度数为×180°＝112.5°．【答案】C．
6．OA平分∠BOC，P是OA上任一点，C不与点O重合，且以P为圆心的圆与OC相离，那么圆P与OB的位置关系是………………………………………………（    ）
（A）相离   （B）相切    （C）相交     （D）不确定
【提示】因为以点P为圆心的圆与OC相离，则P到OC的距离大于圆的半径．又因为角平分线上的一点到角的两边的距离相等，则点P到OB的距离也大于圆的半径，故圆P与OB也相离．【答案】A．
7．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为（    ）
（A）（a＋b＋cr    （B）2（a＋b＋c（a＋b＋cr    （D）（a＋b＋cr
【提示】连结内心与三个顶点，则△ABC的面积等于三个三角形的面积之和，所以△ABC的面积为a·r＋b·r＋c·r＝a＋b＋cr．【答案】A．
8．如图，已知四边形ABCD为圆内接四边形，AD为圆的直径，直线MN切圆于点B，DC的延长线交MN于G，且cos ∠ABM＝tan ∠BCG的值为……（    ）
（A）    （B）    （C）1    （D）
【提示】连结BD，则∠ABM＝∠ADB．因为AD为直径，所以∠A＋∠ADB＝90°，所以cos ∠ABM＝＝cos ∠ADB＝sin A，所以∠A＝60°．又因四边形ABCD内接于⊙O，所以∠BCG＝∠A＝60°．则tan ∠BCG＝． 【答案】D．                  
9．在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若PA＝3，PB＝4，CD＝9，则以PC、PD
的长为根的一元二次方程为…………………………………………………………（    ）
（A）x2＋9 x＋120    （B）x2－9 x＋120（C）x2＋7 x＋0     （D）x2－7 x＋0
【提示】设PC的长为a，则PD的长为（9－a），由相交弦定理得3×4＝a ·（9－a）．所以a2－9 a＋120，故PC、PD的长是方程x2－9 x＋120的两根．【答案】B．
10．已知半径分别为r和2 r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是………（    ）
（A）0＜d＜3 r    r＜d＜3 rr≤d＜3 r    r≤d≤3 r
【提示】当两圆相交时，圆心距d与两圆半径的关系为2 r－r＜d＜2 r＋rr＜d＜3 r_____．
【提示】如图，AB为弦，CD为拱高，则CD⊥AB，AD＝BD，且O在CD的延长线上．连结OD、OA，则OD＝＝＝5（米）．所以
CD＝13－5＝8（米）． 【答案】8米．                          
12．如图，已知AB为⊙O的直径，∠E＝20°，∠DBC＝50°，则∠CBE＝______．
【提示】连结AC．设∠DCA＝x°，则∠DBA＝x°，所以∠CAB＝x°＋20°．因为AB为直径，所以∠BCA＝90°，则∠CBA＋∠CAB＝90°．
又  ∠DBC＝50°，∴  50＋x＋（x＋20）＝90．
∴  x＝10_____梯形，圆内接平行四边形是_______．
【提示】因平行弦所夹的弧相等，等弧所对的弦相等，所以圆内接梯形是等腰梯形．同理可证圆内接平行四边形是矩形．【答案】等腰，矩形．
14．如图，AB、AC是⊙O的切线，将OB延长一倍至D，若∠DAC＝60°，则∠D＝_____．
【提示】连结OA．∵  AB、AC是⊙O的切线，∴  AO平分∠BAC，且OB⊥AB．又  OB＝BD，∴  OA＝DA．∴  ∠OAB＝∠DAB．
∴  3∠DAB＝60°．∴  ∠DAB＝20°．∴  ∠D＝70°．
15．如图，BA与⊙O相切于B，OA与⊙O相交于E，若AB＝，EA＝1，则⊙O的半径为______．
【提示】延长AO，交⊙O于点F．设⊙O的半径为r．                            
由切割线定理，得AB2＝AE·AF．∴ （）2·（2 r）r＝2______条公切线．
【提示】因为圆心距等于两圆半径之和，所以这两圆外切，故有两条外公切线，一条内公切线．
【答案】3．
17．正八边形有_____条对称轴，它不仅是______对称图形，还是_____对称图形．
【提示】正n边形有n条对称轴．正2n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【答案】8，轴，中心．
18．边长为2 a的正六边形的面积为______．
【提示】把正六边形的中心与六个顶点连结起来，所得六个等边三角形全等．每个等边三角形的面积为·（a）2＝a2，所以正六边形的面积为6a2．
19．扇形的半径为6 cm，面积为9 cm2，那么扇形的弧长为______，扇形的圆心角度数为_____．
【提示】已知扇形面积为9 cm2，半径为6 cm，则弧长l＝3；设圆心角的度数为n，则＝3 cm，所以n＝．【答案】3；．
20．用一张面积为900 cm2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径
为_____．
【提示】面积为900 cm2的正方形的边长为30 cm，则底面圆的周长30 cm．设直径为d，则?d＝30，故d＝（cm）．【答案】 cm．
（三）判断题（每题2分，共10分）
21．相交两圆的公共弦垂直平分连结这两圆圆心的线段……………………………（    ）【答案】×．
【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦，反过来公共弦不一定平分连结两圆圆心的线段．
22．各角都相等的圆内接多边形是正多边形…………………………………………（    ）【答案】×．
【点评】矩形内接于以对角线为直径的圆，但它不是正多边形．
23．正五边形既是轴对称图形，又是中心对称图形…………………………………（    ）【答案】×．
【点评】正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
24．三角形一定有内切圆………………………………………………………………（    ）【答案】√．
【点评】作三角形的两条角平分线，设交点为I，过I作一边的垂线段，则以点I为圆心，垂线段长为半径的圆即三角形的内切圆．
25．平分弦的直径垂直于弦……………………………………………………………（    ）【答案】×．
【点评】当被平分的弦为直径时，两直径不一定垂直．
（四）解答题：（共50分）
26．（8分）如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE＝1 cm，EB＝5 cm，
∠DEB＝60°，求CD的长．
【分析】因为AE＝1 cm，EB＝5 cm，所以OE＝（1＋5）－1＝2（cm）．在Rt△OEF中可求EF的长，则EC、ED都可用DF表示，再用相交弦定理建立关于DF的方程，解方程求DF的长．
【略解】∵  AE＝1 cm，BE＝5 cm，∴  ⊙O的半径为3 cm．∴  OE＝3－1＝2（cm）．在Rt△OEF中，∠OEF＝60°，∴  EF＝cos 60°·OE＝·2＝1（cm）．∵  OF⊥CD，∴  FC＝FD．∴  EC＝FC－FE＝FD－FE，ED＝EF＋FD．即  EC＝FD－1，ED＝FD＋1．由相交弦定理，得  AE·EB＝EC·ED（负值舍去）．∴  CD＝2FD＝2（cm）．
27．（8分）如图，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，
CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，求tan ∠ACD和sin ∠P的值．
【提示】连结CB，易证△PCA∽△PBC，所以＝．由切割线定理可求PB的长，所以
tan∠ACD＝tan ∠CBA＝＝．连
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