2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题 (2007年4月1日 下午1:00—3:00) 一、选择题(共6小题,每小题5分,满分30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填均得零分) 1.若,则+ … ++ … +的值是( ) (A)1 (B)0 (C)-1 (D)2 2.定义:定点A与⊙O上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与⊙O之间的距离.现有一矩形ABCD如图,AB=14cm,BC=12cm,⊙K与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G,则点A与⊙K的距离为( ) (A)4cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm 3.某班选举班干部,全班有50名同学都有选举权和被选举权,他们的编号分别为1,2,…,50.老师规定:同意某同学当选的记“1”,不同意(含弃权)的记“0”. 如果令 其中i=12,…,50;j=12,…,50. 则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为( ) (A)+ … + … + (B)+ … + … + (C) + + … + (D) + + … + 若,则的图象必定经过( ) 第一、二象限第一、二、三象限 第二、三、四象限 第三、四象限 5.满足两条直角边长均为整数,且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( ) (A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)无穷多个 6.如图,以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为O,连结AO,如果AB=4,AO=,那么AC的长等于( ) (A) 12 (B) 16 (C) (D) 二、填空题(共6小题,每小题6分,满分36分) 7.函数,当x = 时,y有最小值,最小值等于 . 8.以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中,正三角形的个数为 . 9.如图,△ABC中,∠A的平分线交BC于D,若AB=6 cm,AC=4 cm,∠A=60°,则AD的长为 cm. 10.设… ,为实数,且满足 …=…=…=…=…=1, 则 . 11.正六边形轨道ABCDEF 的周长为7.2米,甲、乙两只机器鼠分别从A,C 两点同时出发,均按A→B→C→D→E→F→A→… 方向沿轨道奔跑,甲的速度为9.2厘米/秒,乙的速度为8厘米/秒,那么出发后经过 秒钟时,甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上. 12.正整数M的个位上的数字与数的个位上的数字相同,把M的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N.若N是M的4倍,T是M的最小值,则T的各位数字之和等于 . 三、解答题(共4小题,满分54分) 13.(本题满分12分) 已知二次函数的图象G和x轴有且只有一个交点A,与y轴的交点为B(0,4),且. (1)求该二次函数的解析表达式; (2)将一次函数y=x的图象作适当平移,使它经过点A,记所得的图象为L,图象L与G的另一个交点为C,求△ABC的面积. 14.(本题满分12分) 如图,AB∥CD、AD∥CE,F、G分别是AC和FD的中点,过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q,求证:MN+PQ=2PN. 15.(本题满分14分) 2007个质点均匀分布在半径为R的圆周上,依次记为,,,…,.小明用红色按如下规则去涂这些点:设某次涂第个质点,则下次就涂第个质点后面的第个质点.按此规则,小明能否将所有的质点均涂成红色?若能,请给出一种涂点方案;若不能,请说明理由. 16.(本题满分16分) 从连续自然数1,2,3,…,2008中任意取n个不同的数, (1)求证:当n=1007时,无论怎样选取这n个数,总存在其中的4个数的和等于4017. (2)当n≤1006(n是正整数)时,上述结论成立否?请说明理由. 参考答案 一、选择题(共6小题,每小题5分,满分30分) 1.答案:C 解:由,得, 所以+ … ++ … +=-1. 2.答案:A 解:连结AK、EK,设AK与⊙O的交点为H,则AH即为所求, 因为AK==10,所以AH = 4. .答案:C 解:由题意得C正确. , 当时,,,直线过第一、二、三象限;时,,,直线过第一、二、四象限综合得直线过第一、二象限. .答案:C 解:设直角三角形的两条直角边长为(),则(k均为正整数),化简得,或解得或或.答案:解:在AC取一点使C=AB=4,连接O, ∠AOG=90°,所以△AOG是等腰直角三角形,A=,所以AC=1 二、填空题(共6小题,每小题6分,满分36分) 7.答案:解:1时,y=x+4; 当x>-1时,y=3x+6.; 所以当x=-2时,y的值最小,最小值为2. 8.答案:解:.答案:解:=. 解得AD=. 10.答案: 解:由已知,=1,…=1, 解得所以. 11.答案:解:x 条边时,甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上,此时甲走了120x 厘米, 乙走了厘米,于是 解得.因x是整数,所以x=8,即经过==秒时,甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上. 12.答案:的个位数字是7, 所以可设,其中k是m位正整数,则. 由条件N=4M,得=,即. 当m=5时,k取得最小值17948.所以T=179487,它的各位数字之和为36. 三、解答题(共4题,满分54分) 13.(12分) 解:(1)由B(0,4)得,c=4. G与x轴的交点A(,0), 由条件,得,所以=,即A(,0). 所以解得 所求二次函数的解析式为. (2)设图象L的函数解析式为y=x+b,因图象L过点A(,0), 所以,即平移后所得一次函数的解析式为 y=. 令=, 解得,. 将它们分别代入y=, 得,. 所以图象L与G的另一个交点为C(,9). 如图,过C作CD⊥x轴于D,则 S△ABC=S梯形BCDO-S△ACD -S△ABO ==15. 14.(12分) 证明:延长BA、EC,设交点为O,则 四边形OADC为平行四边形. ∵ F是AC的中点, ∴ DF的延长线必过O点,且. ∵ AB∥CD, ∴ . ∵ AD∥CE, ∴ . ∴ =. 又 , ∴ OQ=3DN. ∴ CQ=OQ -OC=3DN -OC=3DN -AD,AN=AD -DN, 于是,AN+CQ=2DN, ∴ =2,即 MN+PQ=2PN. 15.(14分) 解:不能. 理由:设继点涂成红色后被涂到的点是第j号,则 j= 若=2007,则j=2007,即除点涂成红色外,其余均没有涂到. 若2007,则22007,且24014,即2-20072007, 表明点永远涂不到红色. 16.(16分) 解:(1)设,…,是1,2,3,…,2008中任意取出的1007个数. 首先,将1,2,3,…,2008分成1004对,每对数的和为2009, 每对数记作(m,2009-m) ,其中m=1,2,3,…,1004. 因为2008个数取出1007个数后还余1001个数,所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对, 因此至少有3对数,不妨记为 (互不相等)均为,…,中的6个数. 其次,将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对,每对数的和为2008,每对数记作(k ,2008-k) ,其中k=1,2,…,1003. 2006个数中至少有1005个数被取出,因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数,这1003对数中,至少有2对数是,…,中的4个数,不妨记其中的一对为. 又在三对数,(互不相等)中至少存在1对数中的两个数与中的两个数互不相同,不妨设该对数为, 于是. (2)不成立. 当时,不妨从1,2,…,2008中取出后面的1006个数: 1003 ,1004,…,2008, 则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018 4017; 当时,同样从1,2,…,2008中取出后面的n个数,其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018 4017. 所以时都不成立. 中考网 www.zhongkao120.com 中考网 www.zhongkao120.com C A A D C B A 得 分 评卷人
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