1999年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试 (4月4日上午8:30--9:30) 考生注意:本试两大题共10道小题,每题7分。全卷满分70分。 一、选择题(本题满分42分,每小题7分) 本题共有6个小题,每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论,其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分。 1、计算的值是( )。 (A)1;(B)-1;(C)2;(D)-2。 2、△ABC的周长是24,M是AB的中点,MC=MA=5,则△ABC的面积是( )。 (A)12;(B)16;(C)24;(D)30。 3、设,将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内,则有一组的取值,使得下列4个图中的一个为正确的是( )。 4、若函数,则当自变量取1、2、3、…、100这100个自然数时,函数值的和是( )。 (A)540;(B)390;(C)194;(D)97。 5、如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=998,DC=1001,AD=1999,点P在线段AD上,则满足条件∠BPC=90°的点P的个数为( )。 (A)0;(B)1;(C)2;(D)不小于3的整数。 6、有下列三个命题:(甲)若是不相等的无理数,则是无理数;(乙)若是不相等的无理数,则是无理数;(丙)若是不相等的无理数,则是无理数。其中正确命题的个数是( )。 (A)0;(B)1;(C)2;(D)3。 二、填空题(本题满分28分,每小题7分) 本题共有4道小题,要求直接把答案写在横线上。 1、已知且,则=________。 2、如图,在△ABC中,∠B=36°,∠ACB=128°,∠CAB的平分线交BC于M,△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N,则△ANM的最小角等于________。 3、已知为整数,且满足,则=________。 4、在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D的点,且∠NMB=∠MBC,则tg∠ABM=________。 =============== =============== =============== 第二试 (4月4日上午10:00--11:30) 考生注意:本试三大题,第一题20分,第二、三题各25分,全卷满分70分。 一、(本题满分20分) ??? 某班参加一次智力竞赛,共三题,每题或者得满分或者得0分。其中题满分20分,题、题满分分别为25分。竞赛结果,每个学生至少答对了一题,三题全答对的有1人,答对其中两道题的有15人,答对题的人数与答对题的人数之和为29,答对题的人数与答对题的人数之和为25,答对题的人数与答对题的人数之和为20,问这个班的平均成绩是多少分? 二、(本题满分25分) ??? 如图,设△ABC是直角三角形,点D在斜边BC上,BD=4DC。已知圆过点C且与AC相交于F,与AN相切于AB的中点G。求证:AD⊥BF。 三、(本题满分25分) ??? 已知为整数,方程的两根都大于-1且小于0,求和的值。 =============== =============== =============== 第一试参考答案 一、选择题(本题满分42分,每小题7分) 本题共有6个小题,每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论,其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分。 1、计算的值是( D )。 (A)1;(B)-1;(C)2;(D)-2。 解:原式=。 2、△ABC的周长是24,M是AB的中点,MC=MA=5,则△ABC的面积是( C )。 (A)12;(B)16;(C)24;(D)30。 解:∵MA=MB=MC=5,∴∠ACB=90°,已知周长是24,则AC+BC=14,AC2+BC2=102。∴2AC×BC=(AC+BC)2-(AC2+BC2)=142-102=4×24。∴。 3、设,将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内,则有一组的取值,使得下列4个图中的一个为正确的是( B )。 解:由方程组的解知两直线的交点为,而图A中交点横坐标是负数,故图A不对;图C中交点横坐标是2≠1,故图C不对;图D中交点纵坐标是大于,小于的数,不等于,故图D不对;故选B。 4、若函数,则当自变量取1、2、3、…、100这100个自然数时,函数值的和是( B )。 (A)540;(B)390;(C)194;(D)97。 解:当时,。∴当自变量取2、3、…、98时,函数值都为0。而当取1、99、100时,,故所求的和为: 。 5、如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=998,DC=1001,AD=1999,点P在线段AD上,则满足条件∠BPC=90°的点P的个数为( C )。 (A)0;(B)1;(C)2;(D)不小于3的整数。 解:AD的中点M对BC张成90°角,又在AD上取点N使AN=998,则ND=1001。由△ABN和△DCN都为等腰三角形推知∠BNC=90°,注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点,可知所求点的个数为2。 6、有下列三个命题:(甲)若是不相等的无理数,则是无理数;(乙)若是不相等的无理数,则是无理数;(丙)若是不相等的无理数,则是无理数。其中正确命题的个数是( A )。 (A)0;(B)1;(C)2;(D)3。 解:,只要令,,则为有理数,故(甲)不对;又若令,,则为有理数,故(乙)不对;又若令,则为有理数,故(丙)不对;故正确命题个数是0,应选(A)。 二、填空题(本题满分28分,每小题7分) 本题共有4道小题,要求直接把答案写在横线上。 1、已知且,则= 2 。 解:,即,,, ,,。 2、如图,在△ABC中,∠B=36°,∠ACB=128°,∠CAB的平分线交BC于M,△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N,则△ANM的最小角等于 44° 。 解:∵∠B=36°,∠ACB=128°,AM为∠CAB的平分线,∴∠CAM=∠MAB=,∵∠AMC=44°。又AN为切线,∴∠NAC=∠B=36°,∠NAM=44°,∴∠N=180°-44°-44°=92°,∴△ANM的最小角为44°。 3、已知为整数,且满足,则= 3 。 解:左边=,即,,而为整数,且不相等,只可能取值或。不妨设,则,或,∵(2)无整数解,由(1)得,。 4、在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D的点,且∠NMB=∠MBC,则tg∠ABM=。 解:延长MN交BC的延长线于T,设MB的中点为O,连TO,则△BAM∽△TOB,∴ ,即。令DN=1,CT=MD=,则AM=,BM=,BT=,代入(1)式得,注意到,解得。 =============== =============== =============== 第二试参考答案 一、(本题满分20分) ??? 某班参加一次智力竞赛,共三题,每题或者得满分或者得0分。其中题满分20分,题、题满分分别为25分。竞赛结果,每个学生至少答对了一题,三题全答对的有1人,答对其中两道题的有15人,答对题的人数与答对题的人数之和为29,答对题的人数与答对题的人数之和为25,答对题的人数与答对题的人数之和为20,问这个班的平均成绩是多少分? ??? 解:设分别表示答对题、题、题的人数,则有,,,∴答对一题的人数为37-1×3-2×15=4,全班人数为1+4+15=20,∴平均成绩为。 答:班平均成绩为42分。 二、(本题满分25分) ??? 如图,设△ABC是直角三角形,点D在斜边BC上,BD=4DC。已知圆过点C且与AC相交于F,与AN相切于AB的中点G。求证:AD⊥BF。 ??? 证:作DE⊥AC于E,则AC=AE,AG=ED。由切割线定理有:AG2=AF·AC, ∴ED2=AF·AE,∴5ED2=AF·AE,∴AB·ED=AF·AE,∴,∴△BAF∽△AED,∴∠ABF=∠EAD,而∠EAD+∠DAB=90°,∴∠ABF+∠DAB=90°,∴AD⊥BF。 三、(本题满分25分) ??? 已知为整数,方程的两根都大于-1且小于0,求和的值。 ??? 解:根据函数的图象和题设条件知:当时,,∴…①;当时,,∴…②。抛物线顶点的横坐标满足,∴…③。 ∵,即,∴…④,由①、③、④得,若,则由②、④得且,得; 若,则且,无整数解; 若,则且,无整数解; 若,则且,无整数解;故所求的值为 赛才网——赛马不相马,敢为天下先! max.book118.com/bbs 以赛识才、以赛育才!
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