2005年宁波市蛟川杯初二数学竞赛试卷 第 2 试 (考试时间:2005年12月18日9∶30—11∶30) 题号 1—5 6—10 11 12 13 总分 得分 评卷人 复评人 一.选择题(每小题6分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的) 1.有两堆数量相同的棋子.第一堆全为白色,第二堆全为黑色.现在从第一堆中取出若干个白棋子,将其放入第二堆中,充分混合后,从第二堆棋子中随机取出同样多的棋子(棋子中可能有黑有白)放到第一堆中,此时两堆棋子的数量又相同了,则下列说法正确的是( ) A.此时第一堆中黑棋子的数量大于第二堆中白棋子的数量 B.此时第一堆中黑棋子的数量等于第二堆中白棋子的数量 C.此时第一堆中黑棋子的数量小于第二堆中白棋子的数量 D.此时第一堆中黑棋子的数量与第二堆中白棋子的数量,两者大小关系无法确定 2.盒中原有8个小球,一位魔术师从中任意取几个小球,把每一个小球都变成了8个小球,将其放回盒中,他又从盒中任取一些小球,把每一个小球又都变成了8个小球后放回盒中,如此进行到某一时刻魔术师停止取变球时,盒中球的总数可能是( ) A.2003个 B.2004个 C.2005个 D.2006个 3.某个游泳池有2个进水口和一个出水口,每个进水口的进水量与时间的关系如图1所示,出水口的出水量与时间的关系如图2所示,某天早上5点到10点,该游泳池的蓄水量与时间的关系如图3所示. 在下面的论断中:①5点到6点,打开进水口,关闭出水口; ②6点到8点,同时关闭两个进水口和一个出水口; ③8点到9点,关闭两个进水口,打开出水口; ④10点到11点,同时打开两个进水口和一个出水口. 可能正确的是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 4.如图,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,在斜边AB上取两点M、N,使∠MCN=45°.设MN=x,BN=n,AM=m,则以x、m、n为边的三角形的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.随x、m、n的值而定 5.一根长30厘米、宽3厘米的长方形纸条,将其按照图示的过程折叠.为了美观,希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等,则最初折叠时,MA的长应为( ). A.7.5厘米 B.9厘米 C.10.5厘米 D.12厘米 二.填空 (每小题6分,共30分) 6.如图,已知△ABC是一个等边三角形,它的边AB长为3,D、E、 F分别是AB、BC、CA的三等分点,则△DEF的边长为___。 7.魔术师要求一个游戏参加者想好一个三位数,然后调换所想 三位数的数字顺序,得到5个数并求出 这 5个数的和N。魔术师声称,只要游戏者告诉他N的大小,他就能知道游戏参加者所 想的数是多少。如果N=2630,那么的值可能是 . 8.某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘(如图), 并规定:顾客每购买100元的商品,就能获得一次转动转盘的 机会。如果转盘停止后,指针正好对准红、黄或绿色区域(图 中未标注的都为白色区域),顾客就可以分别获得100元、50 元、20元的购物券,凭此券可以在该商场继续购物。如顾客不 愿意参加摇奖,可以直接获赠购物券10元。如果有足够多次的 机会参加活动,你愿意参加摇奖还是直接获赠购物券,哪种方 式更合算,说明理由: 9.已知a*b=ab(a+1),则等式2*x=*5中的x=.三.解答题(第11、12題各15分,13題30分,共60分) 11.某租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台.现将这50台联合收割机派往A、B两地收割小麦,其中30台派往A地,20台派往B地.两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下: 甲型收割机的租金 乙型收割机的租金 A地 1800元/台 1600元/台 B地 1600元/台 1200元/台 (1)设派往A地x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元),请用x表示y,并注明x的范围. (2)若使租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元,说明有多少种分派方案,并将各种方案写出. 12.对于任意线段AB,可以构造以AB为对角线的矩形ACBD。连接CD,与AB交于A1点,过A1作BC的垂线段A1C1,垂足为C1;连接C1D,与AB交于A2点,过A2作BC的垂线段A2C2,垂足为C2;连接C2D,与AB交于A3点,过A3作BC的垂线段A3C3,垂足为C3,……,如此下去,可以依次得到点A4,A5,……,An.如果设AB的长为1,则 (1)A1B,A2B,A3B的长依次是多少?你是怎么得到的,写出你的过程。 (2)一般地,你能猜想出AnB的长(用n的代数式表示)吗?并说明你猜想的正确性。 13.如图的格点图中,每行(列)相邻两个格点之间都相距1个长度单位。 (1)如图,格点C与格点A、B构成的三角形ABC的面积是2,还有一些格点与格点A、B构成的三角形面积也是2,请找出所有这样的格点,并在图上标示出来。 (2)有些格点与格点A、B可以构成等腰三角形ABD,请你找出所有这样的格点D,并在图中标出。 (3)问题(2)所得到的等腰三角形中有没有等边三角形?如有,将它们标示出来; 如没有,思考:在下面的8*8格点图中,是否存在以格点为顶点的等边三角形,如果存在,请标示出来,如果不存在,说明理由,一般地,对于任意大的格点图(如100*100个点的格点图),这个结论是否成立? (4)问题(2)所得到的等腰三角形中有没有以AB为腰的等腰直角三角形,有没有以AB为底的等腰直角三角形? 一般地,在充分大的格点图中,对于任意给定的两个格点,是否一定存在以这两个格点所在线段为腰的等腰直角三角形?如果一定有,说明你的构造方法;如果不一定有,思考:对于什么样的两点(即两点的坐标之间满足什么条件时)有。 在充分大的格点图中,对于任意给定的两个格点,是否一定存在以这两个格点所在线段为底的等腰直角三角形?如果一定有,说明你的构造方法;如果不一定有,思考:对于什么样的两点(即两点的坐标之间满足什么条件时)有。 2005年宁波市蛟川杯初二数学竞赛试卷第2试 参考答案及评分意见 选择题(每小题6分,共30分) 1.B 2.A 3.D 4.B 5.C 填空题(每小题6分,共30分) 6. 7.256 8.参加摇奖更合算,因为大量次数摇奖的平均收益为100*5%+50*10%+20*20%=14,大于直接获得奖券的10元。 9.0或1/5 10.不能。记国徽朝上的状态为1,朝下为-1,每次操作改变4个数字的符号,5个数字的积不变。因此目标状态不可能由1变为-1. 注意 也可用奇数、偶数知识说明。 解答题(60分) 11.(1) 7分 9分 (2)三种方案,依次为x=28,29,30的情况 15分 12.(1)A1B A2B= A3B (解答应有过程) 8分 (2)AnB= 10分 说理 (略) 15分 13.(1)C1、C2、C3、C4,如图: (2)D1、D2、D3、D4 等9点,如图: 13分 (3)问题(2)所得到的等腰三角形中没有等边三角形。在8*8格点图乃至任意大的格点图中,都没有格点为顶点的等边三角形。 说理方式很多,如可以将其中一个顶点选为坐标原点,分析另外两个顶点坐标的奇偶性,分别给予排除;也可以将其中一个顶点选为坐标原点后,分别设另两个顶点的坐标为(a,b),(c,d),证明a2+b2=c2+d2=(a-c)2+(b-d)2无整数解。 (4)问题(2)所得到的等腰三角形中有以AB为腰的等腰直角三角形,有以AB为底的等腰直角三角形。 一般地,在充分大的格点图中,对于任意给定的两个格点,一定存在以这两个格点
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