2007年广州市初中数学青年教师解题比赛 决赛试卷 20074-15 本试卷共8页,第1-2页为选择题和填空题,第3-8页为解答题及答卷.请将选择题和填空题的答案做在第3页的答卷上.全卷共三大题25小题,满分150分,考试时间120分钟. 第I卷(选择题,共44分) 一、选择题(本大题共11小题,每小题4分,满分44分,请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上.) 1.对于实数,下列运算正确的是( ). (A) (B) (C) (D) 2以下三个:①两个无理数的和一定是无理数;②两个无理数的和有可能是有理数;③两个无理数的和一定是实数.其中正确是( ). (A)①和② (B)①和③ (C)②和③ (D)③ 3.已知等差数列的前项和为,且则的值是 ( ) . (A)8 (B)11 (C)12 (D)15 4.如果为实数,则“”是“直线相切” 的( ) . (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分又不必要条件 5已知是圆的直径,弦和相交于点, 那么等于( ). (A) (B)cos (C)tan (D)cot 6如图,三个天平的托盘中相同的物体质量相等.图⑴、⑵所示的两个天平处于平衡状态要使第三个天平也保持平衡,则需在它的右盘中放置( ). (A)3个球 (B)4个球 (C)5个球 (D)6个球 7.如图是一个正方体的表面展开图,已知正方体的每一个面上都有一个实数,且相对面上的两个数互为倒数,那么代数式的值等于( ). (A) (B) (C) (D) 8.已知集合,,则集合的子集的个数是( ). (A)4 (B)8 (C)15 (D)16 9.如图,所对边分别为, 点的外心, 则( ) . (A) (B) (C) (D) 10.设,同一平面直角坐标系内,一次函数与的图象是( ). 11.二次函数的图象如图所示,是图象上的一点,且,则的值为( ). (A) (B) (C)-1 (D)-2 第II卷(非选择题,共106分) 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,将答案直接填在答题卷上.) 12.随机掷一枚均匀的正方体骰子(正方体骰子的六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6),每次实验掷两次,则每次实验中掷两次骰子的点数之和为6的概率是__________. 13.如果关于的方程有一个小于1的正数根,那么实数的 取值范围是 . 14.在矩形中,已知两邻边=12,=5,是边上异于的任意一点,且,分别是垂足,那么___________. 15已知,那么代数式的值是 . 16.已知为实数,且,则的取值范围为 . 17.已知正方形ABCD的面积35平方厘米, E、F分别为边AB、BC上的点, AF和CE相交于点G,并且的面积为5平方厘米,的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF的面积是___________平方厘米. 2007年广州市初中数学青年教师解题决赛答题卷 2007-4-15 一、选择题答案(每小题4分,共44分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 二、填空题答案(每小题5分,共30分) 12. 13. 14. 15. 16. 17. 三、解答题(共8小题,满分76分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.) 18.(本小题8分)已知,,,,试比较A、B、C的大小,并说明理由. 19.(本小题8分)设是奇函数,是偶函数,并且,求和. 20.(本小题10分)已知矩形所在平面,、分别是、的中点. (1)求证:; (2)若45°,求证⊥面. 21.(本小题10分)在中, 以为圆心,的长为半径作圆交,若的长均为正整数,求的长. 22.(本小题10分)如图,在等腰直角三角形中,,900,点为腰的中点,点在底边上,且,求的面积. 23.(本小题10分)在正实数范围内,只存在一个数是关于的方程的解,求实数的取值范围. 24.(本小题10分)如图,在梯形中,,对角线相交于点,并把梯形分成四部分,记这四部分的面积分别为.试判断和的大小关系,并证明你的结论. 25.(本小题10分)已知,若为整数,在使得为完全平方数的所有的值中,设的最大值为,最小值为,次小值为.(注:一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数.) (1)求的值; (2)对进行如下操作:任取两个求其和再除以,同时求其差再除以,剩下的另一个数不变,这样就仍得到三个数.再对所得三个数进行如上操作,问能否经过若干次上述操作,?证明你的结论. an}等差数列,∴2(S8 -S4)= S4+(S12-S8),且S4=3,S8=7,则S12=12. 4.选A [解析]: 若a=b,则直线与圆心的距离为等于半径, ∴相切.若相切,则,∴.故“a=b”是“直线相切”的充分不必要条件. 8.选C [解析]:如果中至少有1个为零,则;如果,则;如果,则;如果,则,于是={0,4,6,9},∴有=16个子集.解:由方程组的解知两直线的交点为,而图A中交点横坐标是负数,故图A不对;图C中交点横坐标是2≠1,故图C不对;图D中交点纵坐标是大于,小于的数,不等于,故图D不对;故选B 11.选B [解:由且,得. 二、填空题答案(每小题5分,共6小题,共30分) 12.. 13. . 因式分解得,因此“小于1的正数根”是. 由得. 14.. 如图,过A作AG⊥BD于G.因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高,所以PE+PF=AG.因为AD=12,AB=5,所以BD=13,所 以所以. 15. 2. . 16. . ,得, 因为为实数,所以,解得. 17. .∵,同理,如图,连BG. 记,,,. 由已知 ,,解之得,. ∴. 三、解答题答案(共8小题,满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程) 18.解:它们的大小关系为. ………………………2分 由得,得,…………4分 ,得, ………………6分 即得. ………………8分 19.解:为奇函数 为偶函数 …………………2分 由…………………4分 从而 …………………6分 …………………8分 20.证明: 21.设BD=,CD=,(,为正整数) 作AE⊥BD,垂足为E,则AB=AD=40,BE=DE=. ∵ ,, ∴ , ∴ , …………………6分 ∵ 20<<100, ∴ 只有或………………9分 故BC的长为50或80. …………………10分 22.解法1:如图,过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D. …… ……2分 因为∠ABE+∠AEB=90°,∠CED+∠AEB=90°,所以∠ABE=∠CED. 于是Rt△ABE∽Rt△CED, …………………4分 所以. ………………6分 又∠ECF=∠DCF=45°,所以CF是∠DCE的平分线,点F到CE和CD的距离相等, 所以. ……………8分 所以.………10分 解法2: 如图,作FH⊥CE于H,设FH=h. ………………2分 因为∠ABE+∠AEB=90°,∠FEH+∠AEB=90°,所以 ∠ABE=∠FEH, 于是Rt△EHF∽Rt△BAE. ………………4分 因为 所以. 又因为所以 …………………8分 所以. ………………10分 23.解:
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