中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分) 1.的解的个数为( ). (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)4 答:(A). 解:若≥0,则于是,显然不可能. 若,则 于是,解得,进而求得. 所以,原方程组的解为只有1个解. 故选(A). 2.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个.现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是( ). (A) 14 (B) 16 (C)18 (D)20 (B)为锐角三角形,⊙经过点B,C,且与边AB,AC分别相交于点D,E. 若⊙的半径与△的外接圆的半径相等,则⊙一定经过△的( ). (A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心 答:(B). 解: 如图,连接BE,因为△为锐角三角形,所以,均为锐角.又因为⊙的半径与△的外接圆的半径相等,且为两圆的公共弦,所以.于是,. 若△的外心为,则,所以,⊙一定过△的 外心. 故选(B). 4.已知三个关于x的一元二次方程 ,, 恰有一个公共实数根,则的值为( ). (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3 答:(D)是它们的一个公共实数根,则 ,,. 把上面三个式子相加,并整理得 . 因为,所以. 于是 . 故选(D)5.的整数解(x,y)的个数是( ). (A)0 (B)1 (C)3 (D), 因为三个连续整数的乘积是3的倍数,所以上式左边是3的倍数,而右边除以3余2,这是不可能的.所以,原方程无整数解. 故选(A). 二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分) 6.如图,在直角三角形ABC中,,CA=4.点P是半圆弧AC的中点,连接BP,线段BP把图形APCB分成两部分,则这两部分面积之差的绝对值是 . 答:4. 解:如图,设AC与BP相交于点D,点D关于圆心O的对称点记为点E,线段BP把图形APCB分成两部分,这两部分面积之差的绝对值是△BEP的面积,即△BOP面积的两倍.而 . 因此,这两部分面积之差的绝对值是4. 7.如图, 点A,C都在函数的图象上,点B,D都在轴上,且使得△OAB,△BCD都是等边三角形,则点D的坐标为 . 答:(,0). 解:如图,分别过点A,C作x轴的垂线,垂足分别为E,F.设OE=a,BF=b, 则AE=,CF=,所以,点A,C的坐标为 (,),(2+b,), 所以 解得 因此,点D的坐标为(,0). 8.已知点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0). 若二次函数的图象与线段AB恰有一个交点,则的取值范围是 . 答:≤,或者. 解:分两种情况: (Ⅰ)因为二次函数的图象与线段AB只有一个交点,且点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0),所以 , 得. 由,得,此时,,符合题意; 由,得,此时,,不符合题意. (Ⅱ)令,由判别式,得. 当时,,不合题意;当时,,符合题意. 综上所述,的取值范围是≤,或者. 9.如图,,则n= . 答:6. 解:如图,设AF与BG相交于点Q,则 , 于是 . 所以,n=6. 10.已知对于任意正整数n,都有 , 则 . 答:. 解:当≥2时,有 , , 两式相减,得 , 所以 因此 . 三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分) 11(A).已知点M,N的坐标分别为(0,1),(0,-1),点P是抛物线上的一个动点. (1)判断以点P为圆心,PM为半径的圆与直线的位置关系; (2)的另一个交点为点Q,连接NP,NQ,求证:. 解:(1)设点P的坐标为,则 PM=; 又因为点P到直线的距离为, 所以,以点P为圆心,PM为半径的圆与直线相切. …………5分 (2)如图,分别过点P,Q作直线的垂线,垂足分别为H,R.由(1),所以,PH∥MN∥QR,于是 , 所以 , 因此,Rt△∽Rt△. 于是,从而. …………15分 12(A).已知a,b都是正整数,试问关于x的方程是 否有两个整数解?如果有,请把它们求出来;如果没有,请给出证明. 解:不妨设≤b,且方程的两个整数根为(≤),则有 所以 , . …………5分 因为,b都是正整数,所以x1,x2均是正整数,于是,≥0,≥0,≥1,≥1,所以 或 (1)当时,由于a,b都是正整数,且≤b,可得 a=1,b=3,,它的两个根为,. (2)当时,可得 a=1,b=1,,它无整数解. 综上所述,当且仅当a=1,b=3,. ……………15分 13(A).O的直径,点P为直径AB上的任意一点.以点A为圆心,AP为半径作⊙A,⊙A与半圆O相交于点C;以点B为圆心,BP为半径作⊙B,⊙B与半圆O相交于点D,且线段CD的中点为M.求证:MP分别与⊙A和⊙B相切. 证明:如图,连接AC,AD,BC,BD,并且分别过点C,D作AB的垂线,垂足分别为,则CE∥DF. 因为AB是⊙O的直径,所以 . 在Rt△和Rt△中,由射影定理得 , . ……………5分 两式相减可得 , 又 , 于是有 , 即 , 所以,也就是说,点P是线段EF的中点. 因此,MP是直角梯形的中位线,于是有,从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切. ……………15分 14(A).(1)是否存在正整数m,n,使得? (2)设(≥3)是给定的正整数,是否存在正整数m,n,使得 ? 解:(1)答案是否定的.若存在正整数m,n,使得,则 , 显然,于是 , 所以,不是平方数,矛盾. ……………5分 (2)当时,若存在正整数m,n,满足,则 , , , , 而,故上式不可能成立. ………………10分 当≥4时,若(t是不小于2的整数)为偶数,取 , 则 , , 因此这样的(m,n)满足条件. 若+1(t是不小于2的整数)为奇数,取 , 则 , , 因此这样的(m,n)满足条件. 综上所述,当时,答案是否定的;当≥4时,答案是肯定的. ……………15分 注:当≥4时,构造的例子不是唯一的. 11(B).:和抛物线:相交 于A,B两点. 点P在抛物线上,且位于点A和点B之间;点Q在抛物线上,也位于点A和点B之间. (1)求线段AB的长; (2)当PQ∥y轴时,求PQ长度的最大值. 解:(1)解方程组 得 所以,点A,B的坐标分别是(-2,6),(2,-6). 于是 . …………5分 (2), , , 因此 PQ≤8, 当时等号成立,所以,PQ的长的最大值8. ……………15分 12(B),abc=1.求最大的实数k,使得不等式 ≥ 恒成立. 解:当,时,实数a,b,c满足题设条件,此时≤4. ……………5分 下面证明:不等式≥对满足题设条件的实数a,b,c恒成立. 由已知条件知,a,b,c都不等于0,且.因为 , 所以≤. 由一元二次方程根与系数的关系知,a,b是一元二次方程 的两个实数根,于是 ≥0, 所以 ≤. ……………10分 因此 ≥. ……………15分 13(B).若,的延长线相交于点,△的外接圆与△的外接圆的另一个交点为点,连接PA,PB,PC,PD.求证: (1); (2)△∽△. 证明:(1)连接PE,PF,PG
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