2008年中考数学分类汇编 压轴题(12) 1、(2008黑龙江、鸡西、佳木斯、齐齐哈尔)如图,在平面直角坐标系中,点,点分别在轴,轴的正半轴上,且满足. (1)求点,点的坐标. (2)若点从点出发,以每秒1个单位的速度沿射线运动,连结.设的面积为,点的运动时间为秒,求与的函数关系式,并写出自变量的取值范围. (3)在(2)的条件下,是否存在点,使以点为顶点的三角形与相似?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由. 答案:解:(1) , , 点,点分别在轴,轴的正半轴上 (2)求得 (每个解析式各1分,两个取值范围共1分) (3);;; 2、(2008 湖北 天门)如图①,在平面直角坐标系中,A点坐标为(3,0),B点坐标为(0,4).动点M从点O出发,沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动;同时,动点N从点A出发沿AB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动.设运动了x秒. (1)点N的坐标为(________________,________________);(用含x的代数式表示) (2)当x为何值时,△AMN为等腰三角形? (3)如图②,连结ON得△OMN,△OMN可能为正三角形吗?若不能,点M的运动速度不变,试改变点N的运动速度,使△OMN为正三角形,并求出点N的运动速度和此时x的值. 答案:解:(1)N() (2)①AM=AN ,,, ②MN=AM (舍去)或 ③MN=AN , (3)不能 当N()时,△OMN为正三角形 由题意可得:,解得: 点N的速度为: 3、(2008江苏常州)如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点. (1)求点A的坐标; (2)以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标; (3)设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围. 答案:解:(1)∵ ∴A(-2,-4) (2)四边形ABP1O为菱形时,P1(-2,4) 四边形ABOP2为等腰梯形时,P1() 四边形ABP3O为直角梯形时,P1() 四边形ABOP4为直角梯形时,P1() (3) 由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x ①当点P在第二象限时,x 0, △POB的面积 ∵△AOB的面积, ∴ ∵, ∴ 即 ∴ ∴x的取值范围是 ②当点P在第四象限是,x 0, 过点A、P分别作x轴的垂线,垂足为A′、P′ 则四边形POA′A的面积 ∵△AA′B的面积 ∴ ∵, ∴ 即 ∴ ∴x的取值范围是 4、(2008广西南宁)随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润与投资量成正比例关系,如图①所示;种植花卉的利润与投资量成二次函数关系,如图②所示(注:利润与投资量的单位:万元) (1)分别求出利润与关于投资量的函数关系式; (2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润?他能获取的最大利润是多少? (注意:在试题卷上作答无效) 答案:解:(1)设=,由图①所示,函数=的图像过(1,2),所以2=, 故利润关于投资量的函数关系式是=; 因为该抛物线的顶点是原点,所以设=,由图12-②所示,函数=的图像过(2,2), 所以, 故利润关于投资量的函数关系式是; (2)设这位专业户投入种植花卉万元(), 则投入种植树木()万元,他获得的利润是万元,根据题意,得 =+== 当时,的最小值是14; 因为,所以 所以 所以 所以,即,此时 当时,的最大值是32. 5、(2008安徽芜湖)如图,已知 ,,现以A点为位似中心,相似比为9:4,将OB向右侧放大,B点的对应点为C. (1)求C点坐标及直线BC的解析式; (2)一抛物线经过B、C两点,且顶点落在x轴正半轴上,求该抛物线的解析式并画出函数图象; (3)现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P. 答案:解: (1)过C点向x轴作垂线,垂足为D,由位似图形性质可知: △ABO∽△ACD, ∴. 由已知,可知: . ∴.∴C点坐标为. 直线BC的解析是为: 化简得: (2)设抛物线解析式为,由题意得: , 解得: ∴解得抛物线解析式为或. 又∵的顶点在x轴负半轴上,不合题意,故舍去. ∴满足条件的抛物线解析式为 (准确画出函数图象) (3) 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,设P到 直线AB的距离为h, 故P点应在与直线AB平行,且相距的上下两条平行直线和上. 由平行线的性质可得:两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为. 如图,设与y轴交于E点,过E作EF⊥BC于F点, 在Rt△BEF中,, ∴.∴可以求得直线与y轴交点坐标为同理可求得直线与y轴交点坐标为 ∴两直线解析式;. 根据题意列出方程组: ⑴;⑵ ∴解得:;;; ∴满足条件的点P有四个,它们分别是,,,交轴于A、B两点,交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线,交轴于C、D两点. (1)求抛物线对应的函数表达式; (2)抛物线或在轴上方的部分是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点P是抛物线上的一个动点(P不与点A、B重合),那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上,请说明理由. 答案: 7、(2008浙江台州)如图,在矩形中,,,点是边上的动点(点不与点,点重合),过点作直线,交边于点,再把沿着动直线对折,点的对应点是点,设的长度为,与矩形重叠部分的面积为. (1)求的度数; (2)当取何值时,点落在矩形的边上? (3)①求与之间的函数关系式; ②当取何值时,重叠部分的面积等于矩形面积的? 答案:解:(1)如图,四边形是矩形,. 又,,, ,. ,. ,. (2)如图1,由轴对称的性质可知,, ,. 由(1)知,, ,. ,,. 在中,根据题意得:, 解这个方程得:. (3)①当点在矩形的内部或边上时, ,, ,当时, 当在矩形的外部时(如图2),, 在中,, , 又,, 在中, ,. , , 当时,. 综上所述,与之间的函数解析式是:. ②矩形面积,当时,函数随自变量的增大而增大,所以的最大值是,而矩形面积的的值, 而,所以,当时,的值不可能是矩形面积的; 当时,根据题意,得: ,解这个方程,得,因为, 所以不合题意,舍去. 所以. 综上所述,当时,与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的. 8、(2008四川自贡)抛物线的顶点为M,与轴的交点为A、B(点 B在点A的右侧),△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b.若关 于的一元二次方程有两个相等的实数根. (1)判断△ABM的形状,并说明理由. (2)当顶点M的坐标为(-2,-1)时,求抛物线的解析式,并画出该抛物线的大致图形. (3)若平行于轴的直线与抛物线交于C、D两点,以CD为直径的圆恰好与轴相切,求该圆的圆心坐标. 答案:解:(1)令,得 由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知△ABM是一个以、为直角边的等腰直角三角形 (2)设 ∵△ABM是等腰直角三角形 ∴斜边上的中线等于斜边的一半 又顶点M(-2,-1) ∴,即AB=2 ∴A(-3,0),B(-1,0) 将B(-1,0) 代入中得 ∴抛物线的解析式为,即 图略 (3)设平行于轴的直线为 解方程组 得, ( ∴线段CD的长为 ∵以CD为直径的圆与轴相切 据题意得 ∴ 解得 ∴圆心坐标为和 9、(2008海南)如图,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C,直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m),且与y轴、直线x=2分别交于点D、E. (1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式; (2)求证:① CB=CE ;② D是BE的中点; (3)若P(x,y)是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在,试求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由 答案:解:(1)∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上, ∴m=-2×(-2)-1=3. ∴ B(-2,3) ∵ 抛物线经过原点O和点A,对称轴为x=2, ∴ 点A的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). 将点B(-2,3)代入上式,得3=a(-2-0)(-2-4),∴ . ∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为,即. (2)①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5). 过点B作BG∥x轴,与y轴交于F、直线x=2交于G, 则BG⊥直线x=2,BG=4. 在Rt△BGC中
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