第七讲 行程问题
在这一讲中，我们将要研究的是行程问题中一些综合性较强的题目。为此，我们需要先回顾一下已学过的基本数量关系：
路程=速度×时间
总路程=速度和×时间
路程差=速度差×追击时间
例1：小华在8点到9点之间开始解一道题，当时时针、分针正好成一直线，解完题时两针正好第一次重合。问：小华解这道题用了多长时间？
分析：这道题实际上是一个行程问题。开始时两针成一直线，最后两针第一次重合。因此，在我们所考察的这段时间内，两针的路程差为30分格，又因为时针每小时走5分格，即它的速度为分格/分钟，而分针的速度为1分格/分钟，所以，当它们第一次重合时，一定是分针从后面追上时针。这是一个追击问题追及时间就是小明的解题时间。
解：30÷（1－）=30÷=32（分钟）
例2：甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米。甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇。求A、B两地间的距离。
画图如下：
分析：结合上图，如果我们设甲、乙在点C相遇时，丙在D点，则因为过15分钟后甲、丙在点E相遇，所以C、D之间的距离就等于（40＋60）×15=1500米。
又因为乙和丙是同时从点B出发的，在相同的时间内，乙走到C点，丙才走到D点，即在相同的时间内乙比丙多走了1500米，而乙与丙的速度差为50－40=10（米/分），这样可求出乙从B到C的时间为1500÷10=150分钟，也就是甲、乙二人分别从A、B出发到C点相遇的时间是150分钟，因此，可求出A、B的距离。
解：（1）甲和乙15分钟的相遇路程：
        （40＋60）×15=1500米
   （2）乙和丙的速度差：
        50－40=10（米/分）
   （3）甲和乙的相遇时间：
        1500÷10=150分钟
   （4）A、B两地间的距离：
        （50＋60）×150=16500米=16.5千米。
答：A、B两地间的距离是16.5千米。
例3：甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等。小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站100米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站300米时又追上小明。问：甲、乙两站的距离是多少米？
先画图如下：
分析：结合上图，我们可以把上述运动分为两个阶段来考察：
第一阶段：从出发到二人相遇；
小强走的路程= 一个甲、乙距离＋100米
小明走的路程= 一个甲、乙距离－100米
第二阶段：从他们相遇到小强追上小明；
小强走的路程= 2个甲、乙距离－100米＋300米
= 2个甲、乙距离＋200米
小明走的路程= 100＋300=400米
从小强在两个阶段所走的路程可以看出：小强在第二阶段所走的路程是第一阶段的2倍，所以，小明第二阶段所走的路程也是第一阶段的2倍，即第一阶段应走400÷2=200米，从而可求出甲、乙之间的距离为200＋100=300米。
例4：甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲到终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米；如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？
分析：在相同的时间内，乙行了（200－20）=180米，丙行了200－25=175米，则丙的速度是乙的速度的175÷180=，那么，在乙走20米的时间内，丙只能走：20×=米，因此，当乙到达终点时，丙离终点还有25－=米。
例5：甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇。又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。
先画图如下：
分析：若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟，而从A到D则用26分钟。因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：26－6=20分。
同时，由上图可知，C、D之间的路程等于BC加BD，即等于B在6分钟钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50×（26＋6）=1600米，所以甲的速度为1600÷20=80（米/分），由此可求出A、B间的距离。
例6：一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人。如果公共汽车始发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？
分析：要求汽车的发车时间间隔，只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了，但题目没有直接告诉我们这两个条件，如何求出这两个量呢？
由题可知：相邻两汽车之间的距离（以下简称间隔距离）是不变的，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离，每隔6分钟就有一辆汽车超过步行人，这就是说：当一辆汽车超过步行人时，下一辆汽车要用6分钟才能追上步行人，汽车与行人的路程差就是相邻两汽车的间隔距离。
对于骑车人可作同样的分析。因此，如果我们把汽车的速度记作V汽，骑车人的速度为V自，步行人的速度为V人（单位都是米/分钟），则：
间隔距离=（V汽－V人）×6（米）
间隔距离=（V汽－V自）×10（米）
V自=3 V人
综合上面的三个式子，可得：V汽=6 V人，即V人= V汽，则：
    间隔距离=（V汽－ V汽）×6=5 V汽（米）
所以，汽车的发车时间间隔就等于：
    间隔距离÷V汽=5 V汽（米）÷V汽（米/分钟）=5（分钟）
例7：甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离甲后5分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了7秒钟。问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇？
分析：要求过几分钟甲、乙二人相遇，就必须求出甲、乙二人这时的距离与他们速度的关系，而与此相关联的是火车的运动，只有通过火车的运动才能求出甲、乙二人的距离。火车的运行时间是乙知的，因此必须求出其速度，至少应求出它和甲、乙二人的速度的比例关系。由于本问题较难，故分步详解如下：
出火车速度V车与甲、乙二人速度V人的关系，设火车车长为l，则：
火车开过甲身边用8秒钟，这个过程为追及问题，故：
l=（V车－V人）×8；
火车开过乙身边用7秒钟，这个过程为相遇问题，故：
l=（V车＋V人）×7
由（1）、（2）可得：8（V车－V人）=7（V车＋V人）
所以，V车=15 V人
火车头遇到甲处与火车头遇到乙处之间的距离是：
（8＋5×60）×V车=308 V车=308×15 V人=4620 V人
求火车头遇到乙时甲、乙二人之间的距离。
火车头遇甲后，又经过（8＋5×60）秒后，火车头才遇乙，所以，火车头遇到乙时，甲、乙二人之间的距离为：
4620 V人－2（8＋5×60）V人=4004 V人
求甲、乙二人过几分钟相遇？
4004 V人÷2 V人=2002秒=分钟
答：再过分钟甲、乙二人相遇。
习题七
晶晶每天早上步行上学，如果每分钟走60米，则要迟到5分钟；如果每分钟走75米，则可提前2分钟到校。求晶晶到校的路程。
甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米。甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇。求东西两镇间的路程有多少米？
A、B两辆汽车同时从甲、乙两站相对开出，两车第一次在距甲站32公里处相遇，相遇后两车继续行驶，各自到达乙、甲两站后，立即沿原路返回，第二次在距甲站64公里处相遇。甲、乙两站间相距多少公里？
周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A、B两点，甲、乙两人分别从A、B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B。如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么追上乙时，甲共跑了多少米（从出发时算起）？
老王从甲城骑自行车到乙城去办事，每小时骑15千米，回来时改骑摩托车，每小时骑33千米，骑摩托车比骑自行车少用1.8小时。求甲、乙两城的距离。
速度为快、中、慢的三辆汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面一个骑车人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人，现在知道快车每小时行24公里，中车每小时行20公里，那么慢车每小时行多少公里？
在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次。如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次。问两人各跑一圈需要几分钟？

华数五上第七讲 行程问题.doc