第五讲  奇数与偶数及奇偶性的应用
    一．基本概念和知识
    1．奇数和偶数
整数可以分成奇数和偶数两大类。能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1(k为整数)表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2．奇数与偶数的运算性质
性质1：偶数±偶数=偶数
奇数±奇数=偶数
性质2：偶数±奇数=奇数
性质3：偶数个奇数相加得偶数
性质4：奇数个奇数相加得奇数
性质5：偶数×奇数=偶数
        奇数×奇数=奇数
二．例题
利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题。
例1：1＋2＋3＋…＋1993的和是奇数？还是偶数？
分析  此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数还是偶数。但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判别和的奇偶性。此题可以有两种解法。
解法1：∵  1＋2＋3＋…＋1993
          =，
     又∵  997和1993是奇数，奇数×奇数=奇数，
       ∴  原式的和是奇数。
解法2：∵  1993÷2=996…1
       ∴  1～1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。
     又∵  奇数个奇数之和是奇数，
       ∴  997个奇数之和是奇数。
    因为，偶数＋奇数=奇数，
    所以，原式之和一定是奇数。
例2：一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？
解法1：∵  相邻两个奇数相差2，
      ∴  150是这个要求的数的2倍。
      ∴  这个数是150÷2=75。
解法2：设这个数为x，设相邻的两个奇数为2a＋1，2a－1，(a≥1).则有
    (2a＋1)x－(2a－1)x=150,
2ax＋x－2ax＋x=150,
2x=150,
 x=75.
∴  这个要求的数是75。
例3：元旦前夕，同学们互送贺年卡。每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？为什么？
分析  此题初看似乎缺总人数，但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关。
解：由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次，那么贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。
送贺年卡的人可以分为两种：
一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡的总和为偶数；
另一种是送出了奇数张贺年卡的人：
他们送出的贺年卡总数
=所有人送出的贺年卡总数－所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数
=偶数－偶数=偶数。
他们的总人数必须是偶数，才能使他们送出的贺年卡总数为偶数。
所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。
例4：已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7。求证：a－1，b－2，c－3的乘积一定是偶数。
证明：∵  a、b、c中有两个奇数、一个偶数，
      ∴  a、c中至少有一个奇数，
      ∴  a－1，c－3中至少有一个是偶数。
    又∵  偶数×整数=偶数，
      ∴  (a－1)×(b－2)×(c－3)是偶数。
例5：任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数，试证新数与原数之和不能等于999。
证明：设原数为，设改变其各位数字顺序后得到的新数为。
假设原数与新数之和为999，即＋=999，
则有a＋a’=b＋b’=c＋c’=9.
又因为a’、 b’、 c’是a、b、c调换顺序得到的，
  所以a＋b＋c= a’＋b’＋c’.
因此，又有（a＋a’）’)＋(c＋c’)=9＋9＋9,
即  2(a＋b＋c)=3×9.
可见：等式左边是偶数，等式的右边（3×9=27）是奇数，奇数≠偶数。因此，等式不成立。所以，此假设“原数与新数之和为999”是错误的，命题得证。
例6：用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：
      a×b×c×d－a=1991
      a×b×c×d－b=1993
      a×b×c×d－c=1995
      a×b×c×d－d=1997
试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。
解：由原题等式组可知：
a(bcd－)=1991,b(acd－1)=1993,
c(abd－1)=1995,d(abc－1)=1997.
∵  1991、1993、1995、1997均为奇数，且只有奇数×奇数=奇数，
∴  a、b、c、d分别为奇数，∴  a×b×c×d=奇数。
∴  a、b、c、d的乘积分别减去a、b、c、d后，一定为偶数。这与原题等式组矛盾。
∴  不存在满足题设等式组的整数a、b、c、d.
例7：桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”。请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。
解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”，要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”。即“翻转”的总次数为奇数。但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次。因此，无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。
例8：假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动“n－1”个开关，能否把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。
证明：当n为奇数时，不能按规定将所有的灯关上。
因为要关上一盏灯，必须经过奇数次拉动它的开关。由于n是奇数，所以n个奇数的和=奇数。
因此，要把所有的灯（n盏）都关上，拉动拉线开关的总次数一定是奇数。
但因为规定每次拉动n－1个开关，且n－1是偶数，
∵  奇数≠偶数，
∴  当n为奇数时，不能按规定将所有灯都关上。
当n为偶数时，能按规定将所有灯关上。关灯的办法如下：
设灯的编号为1、2、3、4、…、n.做如下操作：
第一次，1号灯不动，拉动其余开关；
第二次，2号灯不动，拉动其余开关；
第三次，3号灯不动，拉动其余开关；
…
第n次，n号灯不动，拉动其余开关，这时所有的灯都关上了。
例9：在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝，最后统计有1987次染红，1987次染蓝。求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。
证明：假设没有一个珠子被染上红、蓝两种颜色，即所有珠子都是两次染同色。设第一次染m个珠子为红色，第二次必然还仅染这m个珠子为红色。则染红色次数为2m次。
∵  2m≠1987（偶数≠奇数）
∴  假设不成立。
∴  至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色。
例10：如下图1，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么？
解：任意挑选三棵树挂上小牌，假设第一棵挂牌的树与第二棵挂牌的树之间相距a米，第二棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间相距b米，那么第一棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间的距离c=a＋b（米）（如下图2）。如果a、b中有一个是偶数，题目已得证；如果a、b都是奇数，因为奇数＋奇数=偶数，所以c必为偶数，那么题目也得证。
           图1
                     图 2
例11：某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道。评分标准是：答对一题给3分，答错一题倒扣1分，某题不答给1分。请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。
解：对每个学生来说，40道题都答对共得120分，是个偶数。如果答错一道，相当于从120分中扣4分。不论答错多少道，扣分的总数应是4的倍数，即扣偶数分。从120里减去偶数，差仍是偶数。同样，如果有某题不答，应从120里减去（3－1）分。不论有多少道题没答，扣分的总数是2的倍数，也是偶数。所以从120里减去偶数，差仍是偶数。因此，每个学生得分数是偶数，那么全年级参赛学生得分总和也一定是偶数。
例12：某校一年级一班共25名同学，教室座位恰好排成5行，每行5个座位。把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位。问：让这25个学生都离开原座位坐到原座位的邻位，是否可行？
分析  为了便于分析，我们可借助于下图，且用黑白染色帮助分析。
我们把每一个黑、白格看作是一个单位，从图中可知，已在黑格“座位”上的同学要换到邻座，必须坐到白格上；已在白格“座位”上的同学要换到邻座，又必须全坐到黑格“座位”上。因此，要使每人换为邻座位，必须黑、白格数相等。
解：从上图可知，黑色座位有13个，白色座位有12个，13≠12，因此，不可能使每个座位的人换为邻座位。
例12的解法，采用了黑白两色间隔染（着）色的办法。因为整数按奇偶分类只有两类，所以将这类问题转变为黑白两色间隔着色，可以帮助我们较直观地理解和处理问题。让我们再看一道例题，再体会一下奇偶性与染色的关系。
例13：在中国象棋盘任意取定的一个位置上放置着一颗棋子“马”，按中国象棋的走法，当棋盘上没有其他棋子时，这只“马”跳了若干步后回到原处。问：“马”所跳的步数是奇数还是偶数？
在中国象棋中，“马”走“日”字，如果将棋盘上的各点按黑白二色间隔着色（如图），可以看出，“马”走任何一步都是从黑色点走到白色点，或从白色点走到黑色点。因此，“马”从一色点跳到另一同色点，必定要跳偶数步。
因此，不论开始时“马”在棋盘的哪个位置上，而且不论“马”跳多少次，要跳回原处，必定要跳偶数步。
例14：线段AB有两个端点，一个端点染红色，另一个端点染蓝色。在这个AB线段中间插入n个交点，或染红色，或染
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