电子科技大学二零零 七 至二零零 八 学年第 1 学期期 末 考试 量子力学 课程考试题 A 卷 ( 120 分钟) 考试形式: 闭卷 考试日期 200 8年 月 日 课程成绩构成:平时 20 分, 期中 10 分, 实验 0 分, 期末 70 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 合计 一、填空(每空2分,共30分) 1、德布罗意关系为:。(没有写为矢量也算正确) 2、量子力学的状态由 波函数 描述,在体系空间r点处小体积元dτ内粒子出现的几率与 波函数模的平方 (|Ψ|2) 成正比。 3、非简并状态加上微扰后,能级会发生 移动 ;而简并状态加上微扰后,能级会发生 分裂 。 4、任意两个力学量A和B有共同的本征函数,则= 0 ,表明和 对易 。 5、力学量F的算符是 厄密 算符,其本征函数系组成 正交归一完备系 。 6、费米子组成的多粒子体系的波函数的特征是 交换反对称 ,玻色子组成的多粒子体系的波函数的特征是 交换对称 。 7、泡利不相容原理指 任何两个全同费米子不能处于完全相同的状态 。 8、一维线性谐振子的量子数取n的波函数为ψn(x),其定态薛定谔方程为,与ψn(x)相对应的能量为。 9、粒子处于三维无限深势阱中,能量为,能量最低的三个能态的简并度分别为 1,3,3 。(答对1或2个给1分,3个全对给2分) 二、简答题(每小题5分,共20分) 1、写出至少五个力学量的算符。 (任意5个,正确一个1分) 2、简述测不准原理及其意义。 测不准原理:粒子的坐标和动量不可能同时准确测量。 (3分) (更一般意义上,对于力学量A和B,若和不可对易,且, 则存在测不准关系: ) 意义:波粒二象性的反映;反映了把经典概念用于微观世界所受到的限制。 (2分) 3、什么是斯塔克(Stark)效应?试用微扰理论解释斯塔克效应。 斯塔克(Stark)效应是指:原子在外电场作用下,它所发射的光谱谱线会发生分裂。 (2分) 解释:不考虑自旋时,氢原子n=2的能级4度简并,电子从E2能级跃迁到E1能级只产生一条谱线。当受到外加电场作用后,4度简并的E2能级发生分裂形成3个能级,从而形成3条光谱谱线。 (3分) 4、计算对易子。 假设ψ为任意一个波函数,(2分) (2分) 所以 (1分) 三、计算题(1,2,3题每题15分,4题5分,共50分) 1、氢原子处于状态,试求: (1)能量算符,角动量平方算符和角动量z分量算符的可能取值; (2)上述三个力学量取各可能值的几率; (3)上述三个力学量的平均值。 该波函数未归一化,首先归一化。 假设归一化波函数为 则有:A2(1+3)=1,所以 A=1/2 归一化波函数为 (2分) (1) 能量算符的可能取值:E2 (1分) 角动量平方算符的可能取值:0, (2分,每个1分) 角动量z分量算符的可能取值:0, (2分,每个1分) (2) 能量算符取E2的几率:1 (1分) 角动量平方算符取0的几率: 1/4 (1分) 取的几率:3/4 (1分) 角动量z分量算符取0的几率:1/4 (1分) 取的几率: 3/4 (1分) (3) 能量平均值: E2 (1分) 角动量平方平均值: (1分) 角动量z分量平均值: (1分) 2、粒子在势能为的势阱中运动,粒子的能量E V0,写出以上三个区域的定态薛定谔方程和波函数的通解。 对于图中的三个区域,各个区域的定态薛定谔方程分别为: ①区间: (2分) ②区间: (2分) ③区间: (2分) 分别求解各个区间的定态薛定谔方程,可以得到: (每个2分) 其中, 根据波函数有限的条件可以得到各个区间波函数的通解: (每个1分) 3、运动的粒子处于所描述的状态,其中λ 0。求: (1)归一化常数A; (2)在何处发现粒子的几率最大; (3)动量的平均值。 () (1)归一化: (3分) (2分) (2)粒子在空间出现的几率密度为: (2分) 解得 (2分) 根据物理意义,粒子出现几率最大位置: (1分) (3)动量的平均值: (中间过程,2分) (答案1分) 4、粒子处于状态:,求粒子的平均动量和平均动能。 其中,和是动量的本征函数 归一化: 所以 (3分) 动量平均值: (1分) 动能平均值: (1分) 学院 姓名 学号 任课老师 选课号 ………密………封………线………以………内………答………题………无………效…… 第 3 页 共 4页 (2分) ① ② ③ V0 0 a E2 E1 (答对1或2个给1分,3个全对给2分)
中国电子科技大学量子力学典型考题.doc
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