最大流问题的标号法Ford-Fulkerson增广路径算法 一、标号法的基本思路 从一个可行流出发（若网络中没有给定F，则可以设F是零流），经过标号过程和调整过程。 1、标号过程 在这个过程中，网络中的顶点或者是标号点（分为已检查和未检查两种），或者是未标号点。每个标号点的标号包含两个部分。第一个标号指明它的标号是从哪一个顶点得到的（前驱指针），以便找出可改进路；第二个标号是为确定可改进量a用的。 标号过程开始，总先给Vs标上（0，+∞），这时Vs是标号而未检查的顶点，其余都是未标号点。一般地，取一个标号而未检查的顶点Vi，对于一切未标号点Vj： （1）若在弧（vi,vj）上，fij cij,则给vj标号（vi,L(vj)）, L(vj)=min{L(vi),Cij-fij}。这时顶点vj成为标号而未检查的顶点。 （2）若在弧（vj,vi）上，fji 0,则给vj标号（-vi,L(vj)）, L(vj)=min{L(vi),fji}。这时顶点vj成为标号而未检查的顶点。 在vi的全部相邻顶点都已标号后，vi成为标号而已检查过的顶点。重复上述步骤，一旦vt被标上号，表明得到一条从vs到vt的可改进路P，转入调整过程；若所有标号都已检查过致使标号过程无法继续时，则算法结束。这时的可行流即最大流。  2、调整过程 采用“倒向追踪”的方法，从vt开始，利用标号点的第一个标号逐条弧地找出可改进路P，并以vt的第二个标号L(vt)作为改进量a，改进P路上的流量。 例如设vt的第一个标号为vk（或-vk）,则弧(vk,vt)（或相应的弧（vt,vk））是P上的弧。接下来检查vk的第一标号，直到查到vs为止。这时被找出的弧就构成了可改进路P。令a=L（vt）。调整改进P路上的流量： 并去掉所有的标号，得到新的可行流F’={fij’},重新进入标号过程，直至检查完所有标号为止。 二、标号法的算法流程 1、数据结构：采用邻接表D存储。 Const maxn=xxx; Type link=^dtype;          dtype=record                     k:integer;  {顶点序号}                     f,c:integer; {流量，容量}                     next,pre:link; {后向弧指针，前向弧指针}                     end; Var d:array[1..maxn] of link; 可改进路的数据类型：将当前已标号点的可改进路存储在数组path中，数据元素为可改进路上的结点，结点信息包括标号（前驱结点指针p，当前可改进量d）和弧指针w: Ptype=record             p,d:integer             w:link;             end; Var path:array[1..maxn] of ptype; 队列：采用宽度优先搜索的方法求最大流。 Var q:array[1..maxn] of integer;  op,cl:integer;  {队列指针} 2、构造网络D的邻接表。 每读入一条弧（u,v）的两个端点u,v及其容量c后，则在D[u]的邻接表中插入流量为0，容量为c的前向弧（u，v）；在D[v]对应的邻接表中插入流量为0，容量为0的后向弧（v,u）。这个过程可以用子过程insert(u,v,c)完成。 构造过程： 读定点数n，源点序号s和汇点序号t； For i:=1 to n do d[i]:=nil; While D网未读完 do   begin         读入当前弧的两个端点u,v及其容量c；         insert(u,v,c)；   end; Procedure insert(u,v,c:integer); Var x:link; Begin  x:=d[u]; While (x nil) and(x^.k v) do x:=x^.next; If x nil then x^.c:=c Else begin          new(x);           x^.k:=v; x^.c:=c; x^.f:=0; x^.next:=d[u];           d[u]:=x;           new(x^.g);           x^.g^.k:=u; x^.g^.c:=0; x^.g^.f:=0; x^.g^.g:=x; x^.g^.next:=d[v];          d[v]:=x^.g;         end; 3、采用宽度优先搜索求最大流。 Procedure ford; Var u,a:integer;        x:link; Begin   repeat    fillchar(path,sizeof(path),0);    path[s].d:=maxint; path[s].p=s;    cl:=0; op:=1; q[op]:=s;    while (cl op) and(path[t].p=0) do      begin         inc(cl); u:=q[cl];         x:=d[u];         while x nil do         begin           a:=x^.c-x^.f;           if (path[x^.k].p=0) and (a 0) then           begin                 inc(op); q[op]:=x^.k;                 path[x^.k].p:=u; path[x^.k].w:=x;                 if path[u].d a then path[x^.k].d:=path[u].d else path[x^.k].d:=a;           end;          x:=x^.next;        end;     end; If path[t].p 0 then Begin     u:=t; a:=path[u].d;      repeat      path[u].w^.f:=path[u].w^.f+a;      path[u].w^.g^.f:=-path[u].w^.f;      u:=path[u].p;     until u=s; End Until path[t].p=0; End;  4、输出最大流的流量 Procedure answer; Var I,tot:integer;       x:link; Begin   tot:=0;   for i:=1 to n do   begin     x:=d[i];     while x nil do      begin       if x^.f 0 then 输出弧(i,x^.k)及其流量x^.f；       if (i=s) and (x^.f 0) then tot:=tot+x^.f;       x:=x^.next;     end;   end; 输出最大流量tot； End;  * s 2 1 4 3 t (5,1

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