第二章 水文统计原理 武汉理工大学 第五节 统计参数 随机变量的频率分布特征和频率分布曲线，能够用该系列的几个数值特征值来确定。这些具体数值常称为统计参数。 第五节 统计参数     研究分布的数值特征（统计参数）的重要意义在于: 需要用一些数值特征来表示一个已知的概率分布。 对于一个未知分布，可以通过数值特征来估计它的分布。在水文计算中，通常只掌握样本系列的统计参数来推求总体的规律。 第五节 统计参数 水文统计中常用的统计参数有三个：均值X 、变差系数Cv、偏差系数Cs。 第五节 统计参数  一 均值、中值、众值 第五节 统计参数 均值是系列中随机变量的算术平均数。 离散变量（出现次数相同）：  第五节 统计参数 均值是系列中随机变量的算术平均数。 离散变量（出现次数不同）： 第五节 统计参数 均值是系列中随机变量的算术平均数。 连续变量： 第五节 统计参数 模比系数：各个变量与均值的比值，以K表示。对于任一变量xi，有： 第五节 统计参数 均值的意义： 1）反映变量系列在数值上的大小； 2）是系列的分布中心，即几率分布中心处的变量。密度曲线中，其垂线是曲线下方面积的重心轴。 第五节 统计参数  理论和实践都证明，当实测的资料系列较长时，均值趋于稳定。因此，由较长系列实测资料推求的均值，可近似地代替总体的均值。 第五节 统计参数 均值表示系列的平均情况，它表明系列总水平的高低，可供系列之间比较用。例如，兰州多年平均降水量为330mm，北京为650mm，而峨眉则达1585mm，说明兰州的降水少于北京，更小于峨眉。各地年降水量或其它水文特征值都可以用均值反映出来。所以，均值不但是反映分布的一个重要参数，而且是水文现象的一个重要特征值。  第五节 统计参数  中值：位置处于系列排序正中间的那个变量：p为50％。      第五节 统计参数  中值的意义： 1）系列大于中值和小于中值的随机变量出现几率相同； 2）是系列中的中间项，比中值大的和比中值小的变量恰好各占一半。密度曲线中，其垂线是曲线下方面积的平分线。反映系列中间项和密度曲线的位置。  第五节 统计参数 众值：系列中出现次数最多的那个变量。      第五节 统计参数 众值的意义： 1）系列中几率最大的变量； 2）密度曲线中，是曲线峰顶处的横坐标值。反映系列中最大几率项和密度曲线的位置。 第五节 统计参数 第五节 统计参数 二 均方差和变差系数         均值只能反映系列的水平，却不能说明系列对其均值的离散程度。例如，有甲、乙两个系列：                 甲: 10，50， 90                 乙: 49,   50,   51          它们的均值都是50，但甲系列变动幅度大，而乙系列变动幅度却很小。这种变化特征，可以利用均方差和变差系数来说明。 第五节 统计参数 二 均方差和变差系数           均方差和变差系数表明系列分布对均值是比较分散还是集中，能反映频率分布对均值的离散程度。 第五节 统计参数 二 均方差和变差系数   离均差：变量与均值的差值。表示变量间变化幅 度的大小。 第五节 统计参数 二 均方差和变差系数   均方差：离均差平方的平均数的平方根，称为均方差。 第五节 统计参数 二 均方差和变差系数 均方差：用样本代表总体求均方差时乘以修正系数                         ，得： 第五节 统计参数 二 均方差和变差系数 变差系数（离差系数）：                    第五节 统计参数 二 均方差和变差系数 用样本代表总体求均方差时乘以修正系数          ，得：                    第五节 统计参数 二 均方差   和变差系数Cv 对水文现象来说，各水文特征值的变差系数Cv大小反映了该特征值对其均值的相对变化幅度的平均值，它与流域的大小及河流所在的地区有关。 第五节 统计参数 二 均方差   和变差系数Cv 一般地，大流域河流较小流域河流的水文特征值变化幅度小，因此，大流域河流的Cv小，小流域河流的Cv大，平原和山区河流比较，平原河流Cv小，山区河流的Cv大，南方河流与北方河流比较，南方河流 Cv小，北方河流的Cv大。融雪洪水的Cv较稳定，而暴雨洪水的Cv值不稳定。 第五节 统计参数 三 偏差系数Cs 偏差系数：表明系列分布对均值是对称的还是不对称的，反映频率分布对均值的偏斜程度。                    第五节 统计参数 三 偏差系数Cs 第五节 统计参数 三 偏差系数Cs 用样本代表总体求均方差时乘以修正系数          ，得：                    第五节 统计参数 第五节 统计参数 第五节 统计参数 第五节 统计参数 四 统计参数同密度曲线及频率曲线的关系 第五节 统计参数 统计参数同密度曲线的关系 均值：反映密度曲线的位置变化情况，其它值不变时，曲线位置随均值的变化沿x轴左右移动。 第五节 统计参数 统计参数同密度曲线的关系 变差系数：反映密度曲线的高矮变化情况。其它值不变时，曲线位置随变差系数的变小而变得高而瘦。变差系数为0时，密度曲线为一垂线。 第五节 统计参数 统计参数同密度曲线的关系 偏差系数：反映密度曲线的偏斜程度。其它值不变时，曲线位置随偏差系数的变小而向x轴正向偏斜。偏差系数为0时，密度曲线为正态。 第五节 统计参数  统计参数同频率曲线的关系 均值：反映频率曲线的位置高低情况，其它值不变时，曲线位置随均值的变化整体抬高。 第五节 统计参数 统计参数同频率曲线的关系 变差系数：反映频率曲线的陡坦程度。其它值不变时，曲线位置随变差系数的变大而变陡，头部上抬，尾部降低。变差系数为0时，频率曲线平行于x轴。 第五节 统计参数 统计参数同频率曲线的关系 偏差系数：反映频率曲线的曲率大小。其它值不变时，曲线位置随偏差系数的变大而曲率变大，头部上抬变陡、尾部上抬变平缓。变差系数为0时，频率曲线为直线。 第五节 统计参数 四 统计参数同密度曲线及频率曲线的关系 研究意义： 1）频率曲线可以由统计参数来确定其频率分布和频率曲线的特征。可以利用实测水文资料系列（样本）推求近似总体的统计参数，并确定总体的频率分布和频率曲线。 2）掌握各参数对频率曲线的影响方向，可以按照需要调整理论参数大小，以便与实测点据符合得最好。 第五节小结 均值、中值和众值 均方差和变差系数 偏差系数 统计参数同密度曲线及频率曲线的关系 本节课到此结束！ 第六节 理论频率曲线 具有一定数学函数式的频率曲线，习惯上称为理论频率曲线 所谓“理论频率曲线”，绝非从成因上为推求水文特征值找到了理论的依据，而仅是为了配合经验频率点外延频率曲线提供的一种数学模型。 第六节 理论频率曲线 在我国的水文计算中，使用得最广泛的为皮尔逊Ⅲ型曲线，其次，在北方的一些干旱地区，克一门曲线有时也能得到满意的结果。近来，有人推荐使用耿贝尔曲线。 第六节 理论频率曲线 一 皮尔逊Ⅲ型曲线的频率密度函数 皮尔逊Ⅲ型英国生物统计学家皮尔逊在分析大量资料的基础上，为随机现象提供了十三种曲线，其中第Ⅲ型曲线与水文现象相符合。其密度曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰曲线。 第六节 理论频率曲线 一 皮尔逊Ⅲ型曲线的频率密度函数 当以众值为坐标原点时，它的密度曲线方程式为: 

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