1.6   概率与数理统计 随机试验: 概率论里所研究的试验有下列特点: 在相同的条件下试验可以重复进行; (2) 每次试验的结果具有多种可能性, 而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果; (3) 在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果 样本空间: 给定一个试验, 所有可能的结果的全体构成一个集合, 这个集合称作样本空间, 用大写的希腊字母?表示, 这个样本空间中的每一个元素也称作此样本空间的一个样本点, 可以用小写的希腊字母?表示.  几个特殊的事件 基本事件: 只包括一个样本点, 或者说一个试验结果的事件称为基本事件. 必然事件: 包括整个样本空间?的所有元素的事件, 或者就用?表示, 则每次试验必然发 生, 因此称为必然事件. 不可能事件: 不包括任何元素的空集, 即每次试验一定不会发生, 称为不可能事件, 用?表示, 则?={}. 事件的包含 完备事件组 若事件A1,A2,…,An为两两互不相容事件, 并且A1+A2+…+An=?, 称构成一个完备事件组或构成一个划分. 例1 掷一颗骰子的试验，观察出现的点数 事件A表示"奇数点", 事件B表示"点数小于5", C表示"小于5的偶数点". 用集合的列举表示法表示下列事件: 解: ?={1,2,3,4,5,6}		A={1,3,5} B={1,2,3,4}			C={2,4} A+B={1,2,3,4,5}		A?B={5} B?A={2,4}			AB={1,3} AC=?				C-A={2,4} 例2 从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每次取出的产品不放回), 事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3). 试用事件的运算符号表示下列事件:  三次都取到了合格品;  三次中至少有一次取到合格品;  三次中恰有两次取到合格品;  三次中最多有一次取到合格品. 解: 三次全取到合格品: A1A2A3 三次中至少有一次取到合格品: A1+A2+A3 三次中恰有两次取到合格品:  2. 概率       给定事件A, 存在着一个正数P 与之对应, 称之为事件A的概率, 记作P(A)或P{A}. 最高的发生概率为1, 表示必然发生. 最低的概率为0, 表示不可能发生. 而一般的随机事件的概率介于0与1之间. 3.古典概型 有一类试验的特点是: (1)每次试验只有有限种可能的试验结果 (2)每次试验中,各基本事件出现的可能性完全相同. 具这两个特点的试验称为古典概型试验. 在古典概型的试验中, 如果总共有n个可能的试验结果, 因此每个基本事件发生的概率为1/n, 如果事件A包含有m个基本事件, 则事件A发生的概率则为m/n. 放回抽样 假设一副牌有52张, 将它们编号为1,2,…,52. 每次抽出一张观察后再放回去(这样下一次这张牌仍有机会被抽到), 这叫放回抽样. 假设共抽了5次, 共有多少种可能的抽法? 第一次有52种抽法, 在第一次的每一种抽法中, 第二次又有52种抽法, …, 因此抽5次共有 		52?52?52?52?52=525	种抽法. 一般地, 从n个元素中进行m次放回抽样, 则共有nm种抽法. 不放回抽样(排列) 还是这52张牌, 每次抽出一张, 但不放回, 则第二次抽时只有51张牌, 第三次就只有50张牌. 如果这样抽5次, 就共有 		52?51?50?49?48=52!/47! 种抽法 一般地, 从N个元素中抽取n个(n?N), 共有 不放回抽样(组合) 如果从N个元素中不放回抽样n个, 但不关心其顺序, 比如说(1,2,3)和(3,2,1),(2,3,1)被视作一样, 则称为组合, 因此, 组合的数目要比排列的数目小n!倍, 记作 例3  袋内装有5个白球, 3个黑球, 从中任取两个 球, 计算取出的两个球都是白球的概率. 例4  一批产品共200个, 废品有6个, 求(1)这批产品的废品率; (2)任取3个恰有一个是废品的概率;(3)任取3个全非废品的概率 解 设P(A), P(A1), P(A0)分别表示(1),(2),(3)中所求的概率,则 加法法则 两个互不相容(互斥)事件之和的概率等于它们的概率的和. 即当AB=?时, 	P(A+B)=P(A)+P(B) 实际上, 只要P(AB)=0, 上式就成立. 如果n个事件A1,A2,…,An互不相容, 则   P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) 若n个事件A1,A2,…,An构成一完备事件组, 则它们的概率的和为1, 即   P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1 特别地, 两个对立事件概率之和为1, 即 经常有一些概率论的较难的题, 直接计算某事件的概率困难, 因此考虑先求此事件的逆事件的概率 例如  掷3次硬币, 求至少一次正面朝上的概率. 解: 假设A={至少一次正面}, 则 	A={全是反面}, 只包含一个基本事件. 基本事件总数为23=8, 因此 例5 产品有一, 二等品及废品3种, 若一, 二等品率max.book118.com, 求产品的合格率与废品率. 解 令事件A表示产品为合格品, A1,A2分别表示一,二等品. 显然A1与A2互不相容, 并且A=A1+A2, 则 	 例6 一个袋内装有大小相同的7个球, 4个是白球, 3个为黑球. 从中一次抽取3个, 计算至少有两个是白球的概率. 解 设事件Ai表示抽到的3个球中有i个白球(i=2,3), 显然A2与A3互不相容, 且 定义   在事件B已经发生的条件下, 事件A发生的概率, 称为事件A在给定B下的条件概率, 简称为A对B的条件概率, 记作P(A|B). 相应地, 把P(A)称为无条件概率.  乘法法则  两个事件A,B之交的概率等于其中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率, 即 	P(AB)=P(A)P(B|A)		(若P(A) 0) 	P(AB)=P(B)P(A|B)		(若P(B) 0) 例7   10个考签中有4个难签, 3人参加抽签(不放回), 甲先, 乙次, 丙最后, 求甲抽到难签, 甲,乙都抽到难签, 甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲,乙,丙都抽到难签的概率. 全概率定理  如果事件A1,A2,…构成一个完备事件组, 并且都具有正概率, 则对任意一事件B有 贝叶斯定理 若A1,A2,…,构成一个完备事件组, 并且它们都具有正概率,则对于任何一个概率不为零的事件B, 有 在使用全概率公式和贝叶斯公式的题型中, 关键的一步是要使用一完备事件组, 而最常用的完备事件组,是一事件A与它的逆A构成的完备事件组, 这时的全概率与贝叶斯公式为, (应在考试前专门将它们记住). 5.事件的独立性 定义     如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的影响, 即P(A|B)=P(A), 则称事件A对于事件B独立. 由此定义及条件概率P(A|B)的定义有 如A与B独立, 则 例8 甲,乙,丙3部机床独立工作, 由一个工人照管, 某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9,max.book118.com. 求在这段时间内有机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率. 解 用事件A,B,C分别表示在这段时间内机床甲,乙,丙不需工人照管.依题意A,B,C相互独立, 并且P(A)=0.9, P(B)=0.8, P(C)=0.85 则这

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