max.book118.com数 2.基本性质   性质3. 等比级数 *例1.判断级数的敛散性:  (比较审敛法)  (比较审敛法的极限形式) 交错级数 绝对收敛与条件收敛   例5. 证明下列级数绝对收敛 :  1.Abel定理  若 例8..求幂级数 例1. 验证函数 *例2. 求微分方程 例5. *例7. *例11. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 例12. 的通解. 解:  分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 因此可能增、 减解. 解 *例3. 利用一阶线性方程的通解公式得： 例4. 曲线族 所满足的一阶微分方程是____. 解: 对 两边求导，得 即为所求一阶微分方程 特征方程: 实根  特 征 根 通              解 二阶线性常系数齐次微分方程求解 的通解. 解:  特征方程 特征根: 因此原方程的通解为 例6. 求解初值问题 解: 特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 的通解.  解:  特征方程 特征根: 因此原方程通解为 例8. 解：因 是一个特解，所以 是特征 方程的重根，故特征方程为： 所对应微分方程为 (2)  若? 是特征方程的单根  特解形式为 (3) 若 ? 是特征方程的重根  特解形式为 (1)  若 ? 不是特征方程的根 特解形式为 的特解形式. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 特解形式为 例9. 例10. 的特解形式. 解: 本题 而特征方程为 其根为 特解形式为 max.book118.com  微分方程应用 1. 利用导数几何意义列方程 2. 利用导数物理意义列方程 3. 利用牛顿第二定律 求所满足的微分方程 . 解: 如图所示,  令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 即 点 P(x, y) 处的法线方程为 且线段 PQ 被 y 轴平分,  *   1.4   无穷级数 max.book118.com   数项级数 max.book118.com   幂级数 讨论敛散性 求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。 max.book118.com  傅立叶级数 求函数的傅立叶级数展开，讨论和函数的性质。 给定一个数列 将各项依 即 称上式为无穷级数， 其中第 n 项 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和。 1.数项级数定义 性质1. 若级数 收敛于 S , 则各项 乘以常数 c 所得级数 也收敛 , 即 其和为 c S . 性质2.  设有两个收敛级数 则级数 也收敛, 其和为 说明: (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 必发散 .  但若二级数都发散 , 不一定发散. (1)  性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 . (用反证法可证) 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级 的和. 推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 性质5：设收敛级数 则必有 可见:  若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .  (又称几何级数) ( q 称为公比 ).  级数收敛 , 级数发散 . 其和为 3. 几个重要级数的收敛性 调和级数发散 (常数 p   0) p -级数 解:该级数是下列两级数之差 故原级数收敛. 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 是两个正项级数,  (常数 k   0 ), 4.审敛法 正项级数： 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0  (3) 当 l =∞  设两正项级数 满足 (1) 当 0   l  ∞ 时, 的敛散性.  例3. 判别级数 解: 根据比较审敛法的极限形式知 ～ 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) 设  为正项级数, 且 则 (1) 当 (2) 当 时, 级数收敛 ; 或 时, 级数发散 . . 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设  为正项 级数, 且 则 因此级数 收敛. 解: 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 .  ( Leibnitz  判别法 )  若交错级数满足条件: 则级数 收敛 。 定义: 对任意项级数 若 若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 收敛 , 数 绝对收敛 ； 则称原级 数 条件收敛 .  绝对收敛的级数一定收敛 . 证:  而 收敛 , 收敛 因此 绝对收敛 . 判断数项级数敛散的方法 1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质 2、利用必要条件：主要判别发散 3、求部分和数列的极限 4、正项级数的审敛法 1）比值审敛法（根值审敛法） 2）比较审敛法（或极限形式） 5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理 6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛 发      散 发       散 收           敛 收敛 发散 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 .  时该幂级数发散 , 则对满足不等式 max.book118.com  幂级数 *例6.已知幂级数 在 处收敛，则该级数 在 处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛 还是绝对收敛？ 解： 由Abel定理 ，该幂级数在 处绝对收敛， 故在 绝对收敛。 例7. 已知 处条件收敛 , 问该级数收敛 半径是多少 ? 答: 根据Abel 定理可知, 级数在 收敛 , 时发散 . 故收敛半径为 的系数满足 1) 当? ≠0 时, 2) 当? ＝0 时, 3) 当? ＝∞时, 则  的收敛半径为 2.求收敛半径 对端点 x =－1,  的收敛半径及收敛域. 解: 对端点 x = 1, 级数为交错级数 收敛;  级数为 发散 .  故收敛域为   3.求函数的幂级数展开式 1、对函数作恒等变形（如果需要的话） 2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数 3、写出收敛范围(P34例1-37) 1.求傅立叶级数展开式 2.求某个傅立叶系数 3.求和函数在某些点的值 max.book118.com  傅立叶级数的有关问题 例9. 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 它在   上的表达式为 (3)将 f (x) 展成傅里叶级数.  解: (3)  先求傅里叶系数 1.5  微分方程 max.book118.com  微分方程的基本概念 max.book118.com  解微分方程 max.book118.com  微分方程应用 max.book118.com 微分方程的基本概念 一阶微分方程 二阶微分方程 1. 判定微分方程的阶 2. 判定函数是否微分方程的解，通解或特解 是微分方程 的解. 解:  是方程的解 . max.book118.com  解微分方程 1. 一阶微分方程 可分离变量，一阶线性 2. 高阶微分方程 二阶线性常系数齐次，二阶线性常系数非齐次只要求写出特解形式。 * * * * * 

4.无穷级数和微分方程.ppt