?第1讲 速算与巧算（一）
　　计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。
　　我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。
1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：
　　86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。
　　求这10名同学的总分。
分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：
　　6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得到
　　总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-
　　＝800＋9＝809。
　　实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下：
　　通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。
　　例1所用的方法叫做加法的基准数法。这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。作为“基准”的数（如例1的80）叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差。由例1得到：
总和数=基准数×加数的个数+累计差，
平均数=基准数+累计差÷加数的个数。
　　在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。
2 某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：千克）：
　　462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每块麦田的产量。
解：选基准数为450，则
　　累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11
　　＝50，
　　平均每块产量=450＋50÷10＝455（千克）。
　　答：平均每块麦田的产量为455千克。
　　求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7×7＝49（七七四十九）。对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一方法。
例3 求292和822的值。
解：292=29×29
　　＝（29＋1）×（29-1）＋12
　　＝30×28＋1
　　＝840+1
　　＝841。
　　822＝82×82
　　＝（82－2）×（82＋2）＋22
　　＝80×84＋4
　　＝6720+4
　　＝6724。
　　由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补”1，这叫“补少”；因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。本例中，给一个29补1，就要给另一个29减1；给一个82减了2，就要给另一个82加上2。最后，还要加上“移多补少”的数的平方。
　　由凑整补零法计算352，得
　　35×35＝40×30＋52=1225。这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。
　　这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。
4 求9932和20042的值。
解：9932=993×993
　　＝（993＋7）×（993-7）+72
　　＝1000×986＋49
　　＝986000＋49
　　＝986049。
　　20042=2004×2004
　　＝（2004-4）×（2004+4）＋42
　　＝2000×2008＋16
　　＝4016000＋16
　　＝4016016。
　　下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。
　　请看下面的算式：
66×46，73×88，19×44。
　　这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10。这类算式有非常简便的速算方法。
例5 88×64＝？
分析与解：由乘法分配律和结合律，得到
88×64
　　＝（80＋8）×（60＋4）
　　＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4
　　＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4
　　＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4
　　＝80×（60＋6＋4）＋8×4
　　＝80×（60＋10）＋8×4
　　＝8×（6＋1）×100+8×4。
　　于是，我们得到下面的速算式：
8×4；积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积，本例为8×（6＋1）。
例6 77×91＝？
解：由例3的解法得到
　　由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0，本例为7×1＝07。
　　用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。
1
　　1.求下面10个数的总和：
　　165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。
　　2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为（单位：厘米）：
　　26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求这批麦苗的平均高度。
　　3.某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：
　　68，91，84，75，78，81，83，72，79。
　　他们共加工了多少个零件？
4.计算：
　　13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。
　　5.计算下列各题：
　　（1）372； （2）532； （3）912；
　　（4）682： （5）1082； （6）3972。
　　6.计算下列各题：
　　（1）77×28；（2）66×55；
　　（3）33×19；（4）82×44；
　　（5）37×33；（6）46×99。
?练习1 答案
　　1.1596。 2.26厘米。
　　3.711个。 4.147。
　　5.（1）1369； （2）2809； （3）8281；
　　　（4）4624； （5）11664； （6）157609。
　　6.（1）2156； （2）3630； （3）627；
　　　（4）3608； （5）1221； （6）4554。
2讲 速算与巧算（二）
　　上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。
10，则称这两个数互补。在整数乘法运算中，常会遇到像72×78，26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。72×78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；26×86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。
例1 （1）76×74＝？ （2）31×39＝？
　　分析与解：本例两题都是“头相同、尾互补”类型。
1）由乘法分配律和结合律，得到
　　76×74
　　＝（7＋6）×（70+4）
　　＝（70＋6）×70＋（7＋6）×4
　　＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4
　　＝70×（70＋6＋4）＋6×4
　　＝70×（70＋10）＋6×4
　　＝7×（7+1）×100＋6×4。
　　于是，我们得到下面的速算式：
2）与（1）类似可得到下面的速算式：
　　由例1看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如1×9＝09），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加1的乘积。“同补”速算法简单地说就是：
积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×（头+1）”。
　　我们在三年级时学到的15×15，25×25，…，95×95的速算，实际上就是“同补”速算法。
例2 （1）78×38＝？ （2）43×63＝？
分析与解：本例两题都是“头互补、尾相同”类型。
1）由乘法分配律和结合律，得到
　　78×38
　　＝（70＋8）×（30＋8）
　　＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8
　　＝70×30+8×30＋70×8＋8×8
　　＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8
　　＝7×3×100＋8×100＋8×8
　　＝（7×3＋8）×100＋8×8。
　　于是，我们得到下面的速算式：
2）与（1）类似可得到下面的速算式：
　　由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如3×3＝09），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。“补同”速算法简单地说就是：
积的末两位数是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”。
　　例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？
小学奥数基础教程(附练习题和答案)四年级-30讲全册版.doc