上虞市2006学年初三数学竞赛试卷 (2007年1月13日8:30——10:30) 题 次 一 二 三 总 分 13 14 15 16 得 分 阅卷人 一.填空题:(每小题5分,共30分) 1. 如果一个正整数等于它的数字和的4倍,那么我们就把这个正整数叫做四合数.所有四合数的总和等于 ________. 2.在△ABC中,AB=,BC=2,△ABC的面积为1.若∠B是锐角,则∠C的度数是 ________. 3.方程(x2-x-1)x+2=1的整数解的个数是_______. 4.已知α,β是方程x2-x-1=0的两个根,则α4+3β的值为___________. 5.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶.在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等,过了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车,则再过__________分钟,货车追上了客车. 6. 如图,已知△ABC的面积为60,D是边BC的三等分点,E是边AC的四等分点,F、G是边AB上的两个相邻的五等分点,则四边形DEFG的面积为_________. 二.选择题(每小题5分,共30分) 7.已知A、B为平面上的2个定点,且AB=5.若点A、B到直线l 的距离分别等于2、3,则满足条件l的直线共有( )条. A.2 B.3 C.4 D.5 8.若x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2,则a+b=( ) A.7 B.8 C.15 D.21 9.在△ABC中,,则∠A为( ) A.一定为锐角 B.一定为直角 C.一定为钝角 D.非上述答案 10.点A(-4,0),B(2,0)是xOy平面上两定点,C是y=x+2的图象上的动点,则满足上述条件的直角三角形ABC可以画出( ) (A) 1个. (B) 2个. (C) 3个. (D) 4个. 11.甲、乙二人在如图所示的斜坡AB上作往返跑训练.已知: 甲上山的速度是a米/分,下山的速度是b米/分(a<; 乙上山的速度是a米/分,下山的速度是2b米/分.如果甲、乙二人同时从点A出发,时间为t(分),离开点A的路程为S(米).那么下面图象中,大致表示甲、乙二人从点A出发后的时间t(分)与离开点A的路程S(米)之间的函数关系的是( ) 12.如图,AB是⊙O的直径,C为AB上一个动点(C点不与A、B重合),CD⊥AB,AD、CD分别交⊙O于E、F,则与AB?AC相等的一定是 ( ) A. AE?AD B. AE?ED C.CF?CD D.CF?FD 三.解答题(每小题15分,共60分) 13.今有一个三位数,其各位数字不尽相同,如将此三位数的各位数字重新排列,必可得一个最大数和一个最小数(例如,427,经重新排列得最大数742,最小数247),如果所得最大数与最小数之差就是原来的那个三位数,试求这个三位数. 14.某出租车起步价为10元,超过10千米后,每增加1千米加价1.50元(增加不足1千米的按1千米算,增加超过1千米但不足2千米的按2千米算…).现在从A到B,支出车费28元.如果从A步行600米后乘出租车到B,也需交出28元.如果从A坐车经过B到C,且A到B与B到C等距,需支付多少元车费? 15.在△ABC中,AB AC,∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于D,DE⊥AB于E,求证:AE=. 为正整数,且满足,求的值 上虞市2006学年初三数学竞赛试卷 参考答案及评分意见 一、填空题 1.120 2.300 3.4 4.5_ 5.15 6.29 二.选择题BDADCA 13.设三位数为,重排后最大数为则最小数为于是有由于,由上式有,.可求得y=9,x=4,z=5.,得,且 11 s-10≤12 11 s-10-0.6≤12 (5分) 解不等式组,得21.6 s≤22 (10分) 于是,43.2 2s≤44,从而知车费为 10+(44-10)×1.5=61(元) (15分) 15.在△ABC中,AB AC,∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于D,DE⊥AB于E,求证:AE=. 【分析】方法1、2AE=AB-AC ← 在BE上截取EF=AE,只需证BF=AC,连结DC、DB、DF,从而只需证△DBF≌△DCA ← DF=DA,∠DBF=∠DCA,∠DFB=∠DAC ←∠DFA=∠DAF=∠DAG. 方法2、延长CA至G,使AG=AE,则只需证BE=CG ← 连结DG、DC、DB,则只需证△DBE≌△DCG ← DE=DG,∠DBE=∠DCG,∠DEB=∠DGC=Rt∠. +ab+b)及a,b都是正整数, (4,49)=1知,4∣(a+b)故存在正整数k,使a+b=4k ① 从而a+ab+b=49k, (5分) 即(a+b)-ab=49k,故ab=16k-49k ② 从而a,b是关于x的方程 x-4kx+(16k-49k)=0 ③ (此也可视作把①代入②,整理成关于a的类似③的方程) 的两个正整数根.由⊿=16k-4(16k-49k)≥0,得0≤k≤,(10分) k为正整数∴k=1,2,3,4.容易验证,当k=1,2,3时,方程③均无正整数根;当k=4时,方程③为x-16x+60=0,解得x=10,x=6.故a+b=4k=16. (15分) 5 B A 第12题图
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