例4（2008年义乌市）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：  （1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度    ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断． （2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (a≠b，k 0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由． 例5（1）在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．如上图中的△ABC称为格点△ABC．现将图中△ABC绕点A顺时针旋转1800，并将其边长扩大为原来的2倍，则变形后点B的对应点所在的位置是（  ）	 A．甲       	B．乙      	 C．丙      	D．丁 (2)如图，已知△ABC的顶点B的坐标是(2，1)，将 △ABC向左平移两个单位后，点B平移到B1，则B1 的坐标是（  ）． A．(4， 1)              B．(0，1)    C．(－1，1)             D．(1，0) (3)如图，将ΔPQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是(   ) A．(-2,-4)       B．(-2,4)        C．(2,-3)      D．(-1,-3)  评：这里的运动有平移、翻折、旋转，甚至还 有格点运动，但在运动过程中要追求变与不变 之间的关系是解决问题的根本。 （二）图形与运动（1）点动 例1（沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=   ，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转600后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D， 抛物线y=ax2+bx+c过点A，E，D．  （1）判断点E是否在y轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；  （3）在x轴的上方是否存在点P， 点Q，使以点O，B，P，Q为 顶点的平行四边形的面积是 矩形ABOC面积的2倍，且 点P在抛物线上，若存在， 请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 例2（仙桃）如图，直角梯形OABC中，AB∥CD,O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为（2，2  ），∠BCO= 60°，OH⊥BC于点H.动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点P运动的时间为t秒.  （1）求OH的长； （2）若ΔOPQ的面积为S（平方 单位）. 求S与t之间的函数关系式. 并求为何值时，ΔOPQ的面积最 大，最大值是多少？ （3）设PQ与OB交于点M. ①当ΔOPM为等腰三角形时，求（2）中S的值.        ②探究线段OM长度的最大值是多少，直接写出结论. 评：点的运动是很丰富的，有的没有速度 有的有速度和时间等，还会与存在性有很大关系。 （三）图形与运动（2）线动 【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q 【探究一】在旋转过程中， 【探究二】若，AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中： (1)S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由. (2)随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围. 评：线动使运动变得略显复杂，但我们要能从中 找到最为本质的东西,这是解决这类问题的关键。 （四）图形与运动（3）面动 (辽宁)如图在RtΔABC中，∠A=900,AB=AC,BC=4  ，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB,AC上，且G,F分别是AB,AC的中点．  （1）求等腰梯形DEFG的面积；  （2）操作：固定ΔABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由．探究2：设在运动过程中ΔABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式． 评：面动即为图形的整体运动，但它的实质 却是点和线的运动的和。 评：一次函数、反比例函数与二次函数是初中 函数的支撑，学习它们就必须要知道它们的图 像及其性质。 4．考查函数与其它知识点的联系 评：函数与方程、不等式等许多知识点的结合，使函数的学习更加丰富而灵动。 5．考查函数的应用（1）代数应用 例1 (2008年安徽省)刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再往A镇参加救灾。一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4＋a）千米/时。 ①若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？ ②若二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？ ③下列图象中，①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y(千米)和时间x(小时)的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并说明它们的实际意义。 例2（2008年巴中市）为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．据以上信息解答下列问题： ①求药物燃烧时与的函数关系式． ②求药物燃烧后与的函数关系式． ③当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？ 例3（2008年自贡市）抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库。已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨。从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币） ①若甲库运往A库粮食吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式 ②当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？ 例4（2008年荆州市）“5?12”汶川大地震后，某健身器材销售公司通过当地“红十字会”向灾区献爱心，捐出了五月份全部销售利润．已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8台，五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出（含人员工资和杂项开支）max.book118.com材的进价和售 价如下表，人员工 资y1(万元)和杂项 支出y2（万元）分 别与总销售量x（台） 成一次函数关系(如 图). ①求y1与x的函数解析式； ②求五月份该公司的总销售量； ③设公司五月份售出甲种型号器材t台，五月份总销售利润为W（万元），求W与t的函数关系式；（销售利润＝销售额－进价－其他各项支出） ④请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值. ①求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（5分） 评：函数的应用是学习函数的根本，尤其是把 函数应用到生活中去，使函数的学习更有意义。 6．考查函数的应用（2）几何应用 例1（2008年龙岩市）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行⊙O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C. ①判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明； ②设点D的坐标为（-2，4），试求MC的长及直线DC的解析式. ①判断△ABM的形状，并说明理由。  ②当顶点M的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。 ③若平行于轴的直线与抛物线交于C、D两点，以 CD为直径的圆恰好与轴相切，求该圆的圆心坐标。 评：函数的几何应用真正体现了数形结合， 是代数与几何最完美的结合。 7．考查函数的应用（3）函数与运动 ①写出直线BC的解析式． ②求△ABC的面积． ③若点M在线段上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A,B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积s与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时， △MNB的面积最大，最大面积是多少？ 评：函数与运动的 题型很多，这是当 今数学学习最时髦 的考试方向。 8．考查函数的应用（4）函数与建模 例1：（08茂名）我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据： （1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；  （2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价） （3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售
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