2009年全国中考数学分类试题---综合题压轴题汇编2 教师答案版 1(09广东广州)25.(本小题满分14分) 如图13,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),ΔABC的面积为。 (1)求该二次函数的关系式; (2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴上午垂线,若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点,求m的取值范围; (3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。 解:(1)OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=,得AB= 设A(a,0),B(b,0) AB=b-a==,解得p=,但p 0,所以p=。 所以解析式为: (2)令y=0,解方程得,得,所以A(,0),B(2,0),在直角三角形AOC中可求得AC=,同样可求得BC=,,显然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC是直角三角形。AB为斜边,所以外接圆的直径为AB=,所以. (3)存在,AC⊥BC,①若以AC为底边,则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式为y=-2x+b,把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4,解方程组得D(,9) ②若以BC为底边,则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b,把 A(,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25,解方程组得D() 综上,所以存在两点:(,9)或()。 2(09广东深圳)22.(9分)如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB. (1)求点B的坐标; (2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由. (4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由. 解:B(1,) 设抛物线的解析式为y=ax(x+a),代入点B(1, ),得,因此 如图,抛物线的对称轴是直线x=—1当点C位于对称轴与线段AB的交点时,△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以,因此直线AB为,当x=-1时,,因此点C的坐标为(-1,). 如图,过P作y轴的平行线交AB于D. 当x=-时,△PAB的面积的最大值为,此时.如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=-2x-8分别与x轴,y轴相交于A,B两点,点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P. (1)连结PA,若PA=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由; (2)当k为何值时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形? 23. 解:(1)⊙P与x轴相切. ∵直线y=-2x-8与x轴交于A(4,0)与y轴交于B(0,-8)OA=4,OB=8.由题意,OP=-k,∴PB=PA=8+k. 在Rt△AOP中,k2+42=(8+k)2∴k=-3∴OP等于⊙P的半径,⊙P与x轴相切. (2)设⊙P与直线l交于C,D两点,连结PC,PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E. ∵△PCD为正三角形∴DE=CD=,PD=3, ∴PE=. ∵∠AOB=∠PEB=90°, ∠ABO=∠PBE, ∴△AOB∽△PEB, ∴, ∴ ∴, ∴, ∴. 当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,--8)∴k=--8∴当k=-8或k=--8时,以P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形. (1)如图1,圆心接中,,、为的半径,于点,于点 求证:阴影部分四边形的面积是的面积的. (2)如图2,若保持角度不变, 求证:当绕着点旋转时,由两条半径和的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是的面积的. 20.证明:(1)如图1,连结, 因为点是等边三角形的外心, 所以. 2分 , 因为, 所以. 4分 (2)解法一: 连结和,则,, 5分 不妨设交于点,交于点, , . 7分 在和中, , 8分 . 9分 解法二: 不妨设交于点,交于点, 作,垂足分别为, 5分 在四边形中,, , 6分 即. 又, . 7分 , , , 8分 . 9分 5(09广东中山)22.(本题满分9分)正方形边长为4,、分别是、上的两个动点,当点在上运动时,保持和垂直, (1)证明:; (2)设,梯形的面积为,求与之间的函数关系式;当点运动到什么位置时,四边形面积最大,并求出最大面积; (3)当点运动到什么位置时,求的值. 22.解:(1)在正方形中,, , , . 在中,, , . 2分 (2), , , 4分 , 当时,取最大值,最大值为10. 6分 (3), 要使,必须有, 7分 由(1)知, , 当点运动到的中点时,,此时. 9分 (其它正确的解法,参照评分建议按步给分) 6(09贵州安顺)27、(本题满分12分) 如图,已知抛物线与交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与轴交于点B(0,3)。 求抛物线的解析式; 设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积; △AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。 27.(本题满分12分) 解:1)∵抛物线与轴交于点(0,3), ∴设抛物线解析式为 (1′) 根据题意,得,解得 ∴抛物线的解析式为 (5′) (2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)设对称轴与x轴的交点为F 四边形ABDE的面积= = ==9(3)相似 如图,BD=BE= DE= ∴, 即: ,所以是直角三角形 ,且, ∽ (2′) 7(09贵州黔东南)26、(12分)已知二次函数。 (1)求证:不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点。 (2)设a 0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式。 (3)若此二次函数图象与x轴交于A、B两点,在函数图象上是否存在点P,使得△PAB的面积为,若存在求出P点坐标,若不存在请说明理由。 26题、解(1)因为△= 所以不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点。…………(2分) (2)设x1、x2是的两个根,则,,因两交点的距离是,所以。…………(4分) 即: 变形为:……………………………………(5分) 所以: 整理得: 解方程得: 又因为:a 0 所以:a=-1 所以:此二次函数的解析式为…………………………(6分) (3)设点P的坐标为,因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于,所以:AB=……………………………………………………………………(8分) 所以:S△PAB= 所以: 即:,则…………………………………(10分) 当时,,即 解此方程得:=-2或3 当时,,即 解此方程得:=0或1……………………………………(11分) 综上所述,所以存在这样的P点,P点坐标是(-2,3), (3,3), (0, -3)或(1, -3)。…(12分) 8(09河北省)23.(本小题满分10分) 如图13-1至图13-5,⊙O均作无滑动滚动,⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置,⊙O的周长为c. 阅读理解: (1)如图13-1,⊙O从⊙O1的位置出发,沿AB滚动到 ⊙O2的位置,当AB?=?c时,⊙O恰好自转1周. (2)如图13-2,∠ABC相邻的补角是n°,⊙O在 ∠ABC外部沿A-B-C滚动,在点B处,必须由 ⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置,⊙O绕点B旋 转的角∠O1BO2 = n°,⊙O在点B处自转周. 实践应用: (1)在阅读理解的(1)中,若AB?=?2c,则⊙O自 转 周;若AB?=?l,则⊙O自转 周.在 阅读理解的(2)中,若∠ABC?= 120°,则⊙O 在点B处自转 周;若∠ABC?= 60°,则⊙O 在点B处自转 周. (2)如图13-3,∠ABC=90°,AB=BC=c.⊙O从 ⊙O1的位置出发,在∠ABC外部沿A-B-C滚动 到⊙O4的位置,⊙O自转 周. 拓展联想: (1)如图13-4,△ABC的周长为l,⊙O从与AB相切于点D的位置出发,在△ABC外部,按顺时针方向沿三角形滚动,又回到与AB相切于点D的位置,⊙O自转了多少周?请说明理由.(2)如图13-5,多边形的周长为l,⊙O从与某边相切于 点D的位置出发,在多边形外部,按顺时针方向沿多 边形滚动,又回到与该边相切于点D的位置,直接写 出⊙O自转的周数. 23.解:实践应用 (1)2;.;. (2). 拓展联想 (1)∵△ABC的周长为l,∴⊙O在三边上自转了周. 又∵三角形的外角和是360°, ∴在三个顶点处,⊙O自转了(周
[学子教育]2009年全国中考数学压轴题2(修订版).doc
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