中考专题复习二十 方程型综合题 【简要分析】 方程是贯穿初中代数的一条知识主线,方程型综合题又是中考命题的热点.中考中的方程型综合题,主要有两类题:一类是与一元二次方程根的判别式、根与系数有关的问题.另一类是与几何相结合的问题. 【典型考题例析】 例1关于x的方程x2 +mx +m(1=0的两个实数根为x1、x2,且x12+x22=5,求实数m的值. 分析与解答 本例主要综合考查一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系的应用以及代数式的恒等变形等. 由题意,得x1 +x2 =(m,x1x2 =m(1. ∵x12 +x22 =(x1 +x2)2 (2x1x2=5, ∴((m)2 (2(m(1)=5.解得,m1=3,m2=(1. ∵⊿=m2 (4(m(1)=(m(2)2≥0, ∴m=3或(1. 例2 已知:关于x的方程mx2 (14x (7=0有两个实数根x1和x2,关于y的方程y2 (2(n(1)y+n2 (2n=0有两个实数根y1和y2,且(2≤y1≤y2≤4.当时,求m的取值范围. 分析与解答 ∵关于x的方程mx2 (14x(7=0有两个数根x1和x2, ∴⊿1=((14)2+28m≥0,且m(0. 解得m≥(7且m(0. ……① ∵关于y的方程y2 (2(n(1)y+n2 (2n=0有两个实数根y1和y2, ∴⊿2 =[ (2(n(1)]2(4(n2 (2n)=4. ∴y==n(1(1.即y1 =n(2,y2 =n. ∵(2≤y1 y2≤4,∴(2≤n(2 n≤4.解得0≤n≤4.由x1 +x2 =,x1x2=(. ∵, ∴(((m)+2[2(n(2)(n2]+14=0. 整理,得m=2n2(4n(6. 由二次函数m=2n2(4n(6的图象(图2-4-21)可得,当0≤n≤4时,(8≤m≤10.……② 由①、②得m的取值范围是(7≤m≤10且m(0. 说明 ⑴本例综合考查了一元二次方程的概念、判别式、求根公式、根与系数的关系等重要的基础知识的掌握,并涉及到二函数及其图象的有关内容,综合性极强,需要考生透彻掌握代数的基础知识与相互联系. ⑵运用一元二次方程根的判别式时,要注意二次项系数不为零. 例3 如图,2-4-22,∠B=90(,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D,若AD=2,且AE、AB的长是关于x的方程x2 (8x + k=0的两个实数根. ⑴求⊙O的半径.⑵求CD的长. 分析与解答 本题是一道方程与几何相结合的考题,综合考查了切割线定理、根与系的关系、一元二次方程的解法、勾股定理等知识. ⑴∵AD是⊙O的切线,∴AD2 =AE·AB. 又AD=2,∴AE·AB=12. ∵AE、AB的长是方程x2 (8x +k =0的两个实数根, ∴AE·AB=k,∴k=12. 把k =12代入方程x2 (8x +k =0,解得x1 =2,x2 =6. ∴AE=2,AB=6. ∴⊙O的半径为(AB(AE)=2. ⑵∵CB⊥AB,AB经过圆心O, ∴CB切⊙O于点B, ∴CD=CB. 在Rt△ABC中,设CD=x, 由勾股定理得AB2 +BC2 =AC2, ∴62 +x2 =(2+x)2,解得x =2.∴CD=2. 【提高训练】 1. 已知关于x的方程kx2 +2(k+1)x+(k(1)=0. ⑴若此方程有两个实数根,求k的取值范围. ⑵k为何值时,此方程的两根之和等于两根之积? 2. 已知:关于x的方程(a +2)x2 (2ax +a =0有两个不相等的实数根x1和x2,并且抛物线y=x2((2a+1)x+2a (5与x轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁. ⑴求实数a的取值范围.⑵当| x1 | + | x2 | =2时,求a的值. 3.如图2-4-23,以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连结DE. ⑴DE与半圆O相切吗?若相切,请给出证明;若不相切,请说明理由;⑵若AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根,求直角边BC的长. 答案: 1. ⑴k≥(且k(0 ⑵ k=( 2. ⑴( a 0 ⑵a=(1 3. ⑴相切,证明略 ⑵ 3 重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 4 图2-4-23 · O A D E B C 图2-4-22 · O D C B E 图2-4-21 A
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