中考专题复习二二 动态几何综合题 【简要分析】 函数是中学数学中的一个重要的概念,加强对函数概念、图象和性质,以及函数思想方法的考查是近年中考试题的一个显著特点,大量涌现的动态几何问题,即建立几何中元素的函数关系式问题是这一特点的体现.这类题目的一般解法是抓住变化中的“不变”,以“不变”为“向导”.同时,要善于利用相似三角形性质定理、勾股定理、圆幂定理、面积关系,借助方程这个桥梁,从而得到函数关系式.值得注意的是,在几何图形中建立函数关系式,问题具一定的实际意义,因此,对函数解析式中自变量的取值范围必须认真考虑,一般需要有约束条件. 【典型考题例析】 例1 如图2-4-43,在Rt△ABC中,∠C=90(,AC=12,BC=16,动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒个单位长每秒个单位长.当点(秒). ⑴设四边形PCQD的面积为y,求y与t的函数关系式; ⑵t为何值时,四边形PQBA是梯形? ⑶是否存在时刻t,使得PD∥AB?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由; ⑷通过观察、画图或折纸等方法,猜想是否存在时刻t,使得PD⊥AB?若存在,请估计t的值在括号中的哪个时间段内(0≤t≤1;1 t≤2;2 t≤3;3 t≤4),若不存在,请简要说明理由. 分析与解答 ⑴由题意知 CQ=4t,PC=12-3t, ∴S△PCQ =. ∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称, ∴y=2S△PCQ. ⑵当时,有PQ∥AB,而AP与BQ不平行,这时四边形PQBA是梯形,∵CA=12,CB=16,CQ=4t, CP=12-3t, ∴ ,解得t=2.? ∴当t=2秒时,四边形PQBA是梯形. ⑶设存在时刻t,使得PD∥AB,延长PD交BC于点M, 如图2-4-44,若PD∥AB,则∠QMD=∠B, 又∵∠QDM=∠C=90(, ∴Rt△QMD∽Rt△ABC, 从而, ∵QD=CQ=4t,AC=12,AB==20, ∴QM=. 若PD∥AB,则,得,解得t=. ∴当t=秒时,PD∥AB. ⑷存在时刻t,使得PD⊥AB. 时间段为:2<t≤3. 例2 如图2-4-45,在直角坐标系中,O是原点,A、B、C三点的坐标分别为A(18,0),B(18,6),C(8,6),四边形OABC是梯形.点P、Q同时从原点出发,分别作匀速运动,其中点P沿OA向终点A运动,速度为每秒1个单位,点Q沿OC、CB向终点B运动,当这两点有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动.⑴求出直线OC的解析式.⑵设从出发起运动了t秒,如果点O的速度为每秒2个单位,试写出点O的坐标,并写出此时t的取值范围.⑶设从出发起,运动了t秒钟.当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC周长的一半,这时,直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分,如有可能,请求出t的值;如不可能,请说明理由. 分析与解答 ⑴设OC的解析式为y=kx, 将C(8,6)代入,得k=.∴y =x. ⑵当Q在OC上运动时,设Q(m,m), 依题意有:m2 +(m)2 =(2t)2, ∴m=t. Q(t,t),(0≤t≤5). 当Q在CB上运动时,Q点所走过的路程为2t. ∵OC=10,∴CQ=2t(10. ∴Q点的横坐标为2t(10+8=2t(2.∴Q(2t(2,6),(5 t≤10). ⑶易. 如图2-4-46,当Q点在OC上时,P运动的路程为t, 则Q运动的路程为(22(t). 过Q作QM⊥OA于M,则QM=(22(t)(. ∴S△OPQ =t(22(t)(, S梯形OABC=(18+10)(6=84. 假设存在t值,使得P、Q两点同时平分梯形的周长和面积. 则有t(22(t)(=84(.整理,得t2 (22t +140=0. ∵△=222 (4(140 0,∴这样的t不存在. 如图2-4-47,当Q点在BC上时,Q走过的路程为22(t, ∴CQ的长为:22(t(10 =12(t. ∴S梯形OCQP =(CQ+OP)·AB=((22(t (10+t)(6=36(84(. ∴这样的t值也不存在. 综上所述,不存在这样的t值,使得P、Q两点同时平分梯形的周长和面积. 例3 如图2-4-48,Rt△PMN中,∠P=90(,PM=PN,MN=8cm,矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm,C点和M点重合,BC和MN在一条直线上.令Rt△PMN不动,矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动(如图2-4-49),直到C点与N点重合为止.设移动x秒后,矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y cm2 .求y与x之间的函数关系式. 分析与解答 在Rt△PMN中,∵PM=PN,=90(, ∴∠PMN=∠PNM=45(. 延长AD分别交PM、PN于点G、H.过G作GF⊥MN于F. 过H作HT⊥MN于T. ∵DC=2cm,∴MF=GF=2cm,TN=HT=2cm. ∵MN=8cm,∴MT=6cm. 因此,矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止,和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况: ⑴当C点由M点运动到F点的过程中(0≤x≤2),如图2-4-50所示, 设CD与PM交于点E,则重叠部分图形是Rt△MCE,且MC=EC=x. ∴y=MC·EC=x2 (0≤x≤2). ⑵当C点由F点运动到T点的过程中(2 x≤6), 如图2-4-51所示,重叠部分图形是直角梯形MCDG. ∵MC=x,MF=2,=DG=x(2,且DC=2. ∴y=(MC+GD)·DC=2x(2 (2 x≤6). ⑶当C点由T点运动到N点的过程中(6 x≤8), 如图2-4-52所示,设CD与PN交于点Q, 则重叠部分图形是五边形MCQHG. ∵MC=x, ∴CN=CQ=8(x,且DC=2, ∴y=(MN+GH)·DC(CN·CQ = ((x(8)2+12 (6 x ≤8). 说明 此题是一个图形运动问题,解答的方法是将各个时刻的图形分别画出,将图形由“动”变“静”,再设法分别求解.这种分类画图的方法在解动态几何题中非常有效,它可帮助我们理清思路,各个击破. 【提高训练】 1. 如图2-4-53,已知直线l的函数表达式为y=(x+8,且l与x轴,y轴分别交于A、B两点,动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,设点Q、P移动的时间为t秒. ⑴求出点A,B的 坐标; ⑵当t为何值时,△APQ与△AOB相似? ⑶求出⑵中当△APQ与△AOB相似时,线段PQ所在直线的函数表达式. ⑴A、B的坐标分别是(6,0),(0,8). ⑵由BO=8,AO=6,=10.当移动时间为t时,AP=t,AQ=10(2t. ∵∠QAP=∠BAO, ∴当时,△APQ∽△AOB. ∴,∴t=(秒). ∵∠QAP=∠BAO, ∴当时,△AQP∽△AOB. ∴,∴t=(秒). ∴t=秒或t=秒,经检验,它们都符合题意,此时△AQP与△AOB相似. ⑶当t= 秒时,PQ∥OB,PQ⊥OA,PA=, ∴OP=,∴P(,0). ∴线段PQ所在直线的函数表达式为x=. 当t=时,PA=,BQ=,OP=,∴P(,0). 设Q点的坐标为(x,y),则有, ∴,∴x=. 当x=时,y=((+8=,∴Q的坐标为(,). 设PQ的表达式为y=kx+b,则 ∴ ∴PQ的表达式为y=x(. 2. 如图2-4-54,有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合),已知AC=8cm,BC=6cm,∠C=90(,EG=4cm,∠EGF=90(,O 是△EFG斜边上的中点.如图2-4-55,若整个△EFG从图2-4-54的位置出发,以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移,在△EFG 平移的同时,点P从△EFG的顶点G出发,以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动,当点P到达点F时,点P停止运动,△EFG也随之停止平移.设运动时间为x(s),FG的延长线交 AC于H,四边形OAHP的面积为y(cm2)(不考虑点P与G、F重合的情况). ⑴当x为何值时,OP∥AC ? ⑵求y与x 之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围. ⑶是否存在某一时刻,使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由. (参考数据:1142 =12996,1152 =13225,1162 =13456或4.42 =19.36,4.52 =20.25,4.62 =21.16) ⑴∵Rt△EFG∽Rt△ABC ,∴,=.∴FG==3cm. ∵当P为FG的中点时,OP∥EG ,EG∥AC , ∴OP∥AC.∴ x ==×3=1.5(s). ∴当x为1.5s时,OP∥AC. ⑵在Rt△EFG 中,由勾股定理得:EF =5cm. ∵EG∥AH ,∴△EFG∽△AFH.∴. ∴==.∴ AH=( x +5),FH=(x+5). 过点O作OD⊥FP ,垂足为 D .∵点O为EF中点, ∴OD=EG=2cm.∵FP=3-x , ∴S四边形OAHP =S△AFH -S△OFP=·AH·FH-·OD·FP =·(x+5)·(x+5)-×2×(3-x ) =x2+x+3 (0 x 3) ⑶假设存在某一时刻x,使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24. 则S四边形OAHP=×S△ABC,∴x2+x+3=××6×8. ∴6x2+85x-250=0.解得 x1=, x2=
022动态几何综合题(Eon).doc
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