圆的概念和基本图形练习题
1．(1992年太原市初中数学竞赛试题已知点B在线段AC上。分别以AB,BC,AC为直径作⊙O1,⊙O2,⊙O。过点B作直线交⊙O于P,Q,交⊙O1和⊙O2于R,S。求证:PR=QS。
[证明] 连结AR,CS. 作OM⊥PQ于M⊙O1,⊙O2的直径，故AR⊥PQ，CS⊥PQ。
于是AR∥CS∥OM。而AO=OC，由平行线等分线段定理，RM=SM。
所以 PM-RM=QM-SM， 即PR=QS。．（2006年“信利杯”全国初中数学竞赛广西赛区初赛试题）如图A、B、P、C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=600，判断△ABC的形状，并证明你的结论并证明你的结论。解△ABC是等三角形。证明：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC又∵∠APC=∠CPB=600，∴∠ABC=∠BAC=600，∴△ABC等三角形初中数学
[分析]  待证式BD2－AD2＝AB·AC，就是（BE2＋DE2）－（AE2＋DE2）＝AB·AC,
也就是BE2－AE2＝AB·AC，即（BE＋AE）（BE－AE）＝AB·AC，故只需证BE－AE＝AC，BE+AE=AB即可。
问题转化为三条线段之间的和差关系，可按常规截长补短法来证明.
[证明] 在BA上截取BF＝AC，连结DF、DC。
∵D是弧BAC的中点，∴BD＝CD.
在△BDF和△CDA中，BD＝CD，∠1＝∠2，BF＝CA，
∴△BDF≌△CDA，∴DF＝DA.
∵DE⊥AB, ∴AE＝EF,
∴BE－AE＝BE－EF＝ BF＝AC.
由分析可知BD2－AD2＝AB(BE－AE)＝AB·AC.
4 (1997年陕西省初中数学竞赛试题)
已知⊙O的半径为R, C、D是直径AB同侧圆周上的两点,弧AC的度数为96°,弧BD的度数36°, 动点P在AB上, 求PC＋PD的最小值.
解 设D′是D点关于直径AB的对称点,连接CD交AB于P.由圆的对称性可知,点D′在圆上,
∴PD′＝PD,于是PD′＋PC＝PD＋PC.
因两点间的连线中, 线段最短, 所以, 此时点P, 使PC＋PD最小,且最小值为PC＋PD′, 即线段CD′的长。
连接CO, D′O,作OM⊥CD′于M.
∵弧AC的度数为96°,弧BD的度数36°，∴弧CD的度数为180°―96°―36°＝48°, ’的度数为48°＋36°×2＝120°, ∴∠COD′＝120°,∠COM＝∠COD′＝60°.
R，
∴CD′＝2CM＝R,  ∴PC＋PD的最小值为R.
5（2002年江苏省第届初中数学竞赛试题）
如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC=600，H为边AC、AB上的高BD、CE的交点，在BD上取点M，使BM=CH。
求证：∠BOC=∠BHC；
求证：△BOM≌△COH；
求的值。
解 （1）因∠BAC＝60°，所以∠BOC＝2∠BAC＝120°，∠BHC＝∠DHE＝360°－（90°＋90°＋∠BAC）＝120°。从而∠BOC＝∠BHC。
（2）因OB＝OC，故∠OBC＝∠OCB。又∠BOC＝120°，故∠OBC＝（180°－120°）＝30°。
而∠HBC＝90°－∠BCA，所以∠OBM＝∠OBC－∠HBC＝30°－（90°－∠BCA）＝∠BCA－60°。
又∠OCH＝∠HCB－∠HCO＝∠HCB－（180°－120°）＝∠HCB－30°，但∠BCA＝90°－∠BAC＝90°－60°＝30°，所以∠OCH＝∠HCB＋∠HCA－30°－30°＝∠BCA－60°，于是 ∠OBM＝∠OCH。
又已知  BM＝CH，OB＝OC。故△BOM≌△COH。
（3）由（2），得OH＝OM，且∠COH＝∠BOM，从而∠OHM＝∠OMH，∠MOH＝∠BOC＝120°，∠OHM＝（180°－120°）＝30°。
在△OMH中作OP⊥MH，P为垂足，则OP＝OH，由勾股定理得，
（MH）2＝OH2－OP2＝OH2－（）2。故＝
B
C
E
D
M
O
H
A

2001年初二联赛班 1 圆的概念和基本图形练习题.doc