[初中数学论文] 从“中考探索性问题”到“课堂探索能力的培养” ——谈初三几何探索性复习课的初探 摘 要:本文从探索“中考探索性问题”入手,阐述了教师如何设计探索性问题,如何在课堂上培养学生探究能力,提出了宁可少讲知识,也要探究,也要创新的观点。 关键词:探索性问题、探索能力、有效复习、创新 探索是人类认识客观世界过程中最生动,最活跃的思维活动,探索性问题存在于一切学科领域之中,它对培养学生思维的创造性、深刻性、发散性有着独特的要求。新课标指出,数学学习不仅包括数学的一些现成的结果,还有包括这些结果的形成过程。探索性问题已成为课改思想的具体体现的热点之一,纵观全国各地中考试题,探索性试题已成为中考压轴的主要题型来源。这些中考探索性问题不仅可以考查学生发现问题、自主探究、解决问题等综合能力,暴露出学生在解题过程中的思维品质,还能反馈学生对数学思想方法的掌握情况。这点中考探索性问题又是在新课程理念下培养学生观察、实验、操作、归纳、猜想的直观思维能力和合情推理能力的好材料。 我们应重视探索。课堂上应重视对学生探索能力的培养。怎么培养?对于我们这些长期受演绎论证训练的教师来说,缺乏“探索能力”,很容易忽视直观思维的存在和作用,虽对“探索”有所重视,但这重视只不过停留在由几道探索型题目组成的专题讲解上,在中考指挥棒下,很多老师的课堂由大量的例题组成,大容量、大密度的满堂灌,根本没留出或没有充分的时间让学生探索,学生没有探索,那“探索能力”的培养又从何谈起。 笔者从培养自身的探索能力入手,认真探索众多的中考探索性问题,从这些问题中受到启发,试着利用改编、设计探索性问题,努力创设探索型几何复习课。以下是笔者觉得对自己启发较大的几种探索性问题。 利用平移、旋转构造的探索性问题: “平移、旋转”是图形的基本变换,它对发展学生空间观念,丰富学生对空 间图形的认识与感受,使学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程。如下例: 一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在 一起。现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转。 ⑴如图2,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想; ⑵若三角尺GEF旋围到如图3所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,⑴中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。 受这类题的启发,我在备课时,把一些证明题中静止的图形进行图形变换来设计探索题。如: 已知:如图,是的高线,且, 是上一点,且,求证: ⑴线段与间有什么关系?并证明你的结论。 ⑵连结,若把绕顶点旋转一角度,使 点分别落在内和 内,画出图形, 探索⑴中结论是否成立。 课堂中学生通过对这类问题探索,会用运动的眼光看问题,锻炼了学生观察图形的能力,能利用类比的思想从变化中找出不变的规律,同时也训练了他们,通过平移旋转来处理图形,使他们在特殊的图形、简单的图形中得到启发而进行猜测。 运用类比思想构造的探索性问题:如下例: 问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题: 如图1,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON = 60°,则BM = CN. 如图2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON = 90°,则BM = CN. 然后运用类比的思想提出了如下的命题: 如图3,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON = 108°,则BM = CN. 任务要求 (1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明;(说明:选①做对的得4分,选②做对的得3分,选③做对的得5分) (2)请你继续完成下面的探索: 如图4,在正n(n≥3)边形ABCDEF…中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,问当∠BON等于多少度时,结论BM = CN成立?(不要求证明) 如图5,在五边形ABCDE中,M、N分别是DE、AE上的点,BM与CN相交于点O,当∠BON = 108°时,请问结论BM = CN是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由. (1)我选 . 证明: 受该例的启发,利用类比的思想把一些知识串在一起来让学生探索。如在复习三角形中位线内容时,我这样设计探索: 探索一: ⑴E、F分别是中AB、AC边上的中点,连结EF,我们得到了什么线段,它有什么特征? ⑵如何把三角形剪拼成一个平行四边形?矩形? 探索二: ⑴把三角形换成四边形,探索中点四边形问题。 ⑵如何把四边形剪拼成一个平行四边形、矩形? 探索三: ⑴把四边形换成梯形,连结梯形两腰中点,得到什么?它有什么特征? ⑵取梯形上、下底中点并连结,这条线段的长是否等于两腰和的一半。 我们还可以取梯形对角形的中点与梯形中位线联系起来,还可以加条件:如当对角线互相垂直,对角线夹角为时……让学生在这样的不知不觉的探索中加课对知识理解的广度和深度,并且能培养学生用类比的思想来进行探索。 二、规律探索性问题 这类题型十分常见,要求学生从所提供的图形,数字信息中寻找共同之处, 观察、分析、猜想、归纳出一般规律,探索这类题型可引导学生从特殊情况进行研究、归纳、概括,如下例: 观察下面的点阵图形和与之相对应的等式,探究其中的规律: ⑴请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式: ⑵通过猜想,写出与第n个图形相对应的等式。 受这类题型的启发,我在复习图形的初步认识时让学生探索下面这些规律: ⑴直线上有几个点,则共有_________条线段; ⑵以O为端点引n条射线,当得到的最大角小于平角时,小于平角的角的个数为___个; ⑶n条直线最多有______个交点; ⑷过任三点不在同一直线上的n点一共可画______条直线。 ⑸平面内n条直线最多将平面分成________个部分。 探索这类问题时,引导学生从特殊值即当n为1、2、3……入手进行探索,从中发现规律、归纳小结。教师通过这类问题,有效地培养学生用“特殊——一般”的思想来进行探索,培养学生从特殊的事例中寻求一般规律的能力。 四、方法探索性问题,这类问题考查学生对一些已学方法的掌握程度。如下 面两例: 1、已知中,,AC=6,BC=8。 Ⅰ、如图①,若半径的的⊙ 是的内切圆,求; Ⅱ、如图②,若半径为的两个 等圆⊙、⊙外切,且⊙ 与AC、AB相切,⊙与BC、AB 相切,求; Ⅲ、如图③,当n是大于2的正整 数时,若半径为依次外切,且 ⊙、⊙、…、⊙依次外切,且⊙与AC、AB相切,⊙与 BC、AB相切,⊙、⊙、…、⊙均与AB边相切,求。 在学习扇形的面积公式时,同学们推得,并通过比较扇形面积公式与弧长公式,得出扇形面积的另一种计算方式。 接着老师们让同学们解决两个问题: 问题Ⅰ,求弧长为,圆心角为的扇形面积。 问题Ⅱ,某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分,已知AB和CD所在 圆的圆心都是点,AB的长为,CD的长为,AC=BD=d,求花坛的面积。⑴请你解答问题I; ⑵在解完问题Ⅱ后的全班交流中,有位同学发现扇形面积公式类似于三角形面积公式;类似梯形面积公式,他猜想花坛的面积。他的猜想正确吗?如果正确,写出推导过程;如果不正确,请说明理由。 从第1题中受到启发,当我在复习三角形内切圆时,进行了这道题的探索渗透,当学生在探索时不单巩固了“面积法”,而且引导学生用“类比”的思想进行探索。 从第2题中受到启发,我可以把一些老教材有而新教材没有的知识,作为探索的材料,让学生在探索中进一步巩固了课本知识和方法,提升了学生对知识更深、更广的理解。同时为教师处理教材提供了思路,教师以课本知识为基础,以探索课本延伸知识或相关知识为手段促进知识的巩固、方法的掌握,使课堂效果更好。我曾让学生探索圆台的两个侧面积公式,探索圆中的一些成比例线段(圆幂定理),相似多边形的探索……学生的成功探索让我更自信,对于考试我无需压题、猜题,不需要搞题海战,学生的解决能力提高了,还怕什么。 在课堂中探索多了,学生的胆子大了,会尝试用不同方法进行多方面探索,而同时在学习设计探索性问题时,我的课堂探索问题的设计能力也增强了。 比如我会利用印错的题目让学生探索,培养学生用反证法来探索,如下列: 在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AB⊥BC,E是CD的中点,且AB=AD+BC,则△ABE是 _______三角形。 此题没有图,学生大部分答案是直角三角形,而我在探索中否定了直角三角形,题目所提供的答案是等腰直角三角形。我把该题拿到了课堂,引导学生假设BE⊥AE,然后把△ADE绕点OE旋转180°,与 △FCE重合(如图),发现在△FCB中,BF FC+BC, 从而得到BF BA,而由BE垂直平分AF又得到 BF=BA。两者产生矛盾,从而假设错误。我还让学生从“等腰直角三角形”这个参考答案入手,让学生大胆地修改已知条件。 再如:新课标降低了对逻辑推理的要求,于是现在学生在逻辑推理的能力也相对弱了,而作为教师的我逻辑推理是强项,我把一些学生的困难题放在课堂里,引导学生从不同的角度、不同的方法探索,用多种方法证明,如下例: 如图,已知△ABC为等边三角形,点D为BC边上 的任意一点,∠ADE=60°,D
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