2003年全国初中数学联合竞赛决赛试题 一、选择题(每小题7分,共42分) 1、2=__。A 5-4 B4-1 C5 D1 2、在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是__个。A0 B1 C3 D5 3、若函数y=kx(k>0)与函数y=x-1的图象相交于A、C两点,AB垂直x轴于B,则△ABC的面积为__。A1 B2 Ck Dk2 4、满足等式x=2003的正整数对的个数是__。A1 B2 C3 D4 5、设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且AD∶AB=1∶3。若在边AC上取一点E,使四边形DECB的面积为,则的值为__。A B C D 6、如图,在平行四边形ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于E,且与CD相切,若AB=4,BE=5,则ED的长为__。A3 B4 C D 二、填空题(每小题7分,共28分) 抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C。若△ABC是直角三角形,则ac=____。 设m是整数,且方程3x2+mx-2=0的两根都大于-而小于,则m=_______。 如图,AA1、BB1分别是∠EAB、∠DBC的平分线,若AA1=BB1=AB,则∠BAC的度数为__。 已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a、b中较大的数是__。 三、(本题满分20分) 在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA、CB到点E、F,使DE=DF;过E,F分别作CA、CB的垂线,相交于P,设线段PA、PB的中点分别为M、N。求证:①△DEM≌△DFN;②∠PAE=∠PBF。 四、(本题满分20分)已知实数a、b、c、d互不相等,且a+=b+=c+=d+=x,试求x的值。 五、已知:四边形ABCD的面积为32,AB、CD、AC的长都是整数,且它们的和为16。①这样的四边形有几个?②求这样的四边形边长的平方和的最小值。 试题说明:这是2004年全国初中数学联赛试题(决赛)试题,今天把它录入进电脑,希望能够给假期需要研究的老师和学生们提供方便。还将陆续上传我自己录入电脑的前几年的联赛试题,请关注。 2003年全国初中数学联赛答案: 第一试 一、1、(D); 2、(C);由于任何凸多边形的外角之和都是360o,故外角中钝角的个数不超过3个,即内角中锐角最多不超过3个。 3、(A);设A(),则,故。又因为△ABO与△CBO同底等高,因此, 4、(B);由已知等式可得 而,所以,。故 又因为2003为质数,必有或 5、(B);如图3,连结BE, 设,则。 。故 6、(D);如图4,连结AC、CE。 由AE∥BC,知四边形ABCE是等腰梯形。故AC=BE=5。 又因为Dc∥AB,DC与圆相切,所以,∠BAC=∠ACD=∠ABC。 则AC=BC=AD=5,DC=AB=4 因为,故 二、1、-1;设A。由△ABC是直角三角形可知必异号。则 由射影定理知,即;故 2、4;由题设可知, 解得。故 3、12o;设∠BAC的度数为 因,故∠又,则 ∠=∠CBD=。因为∠ 故,解得o 4、225;设()=,且,,其中,与互质。于是的最小公倍数为。依题意有 ,即 又,据式(2)可得 根据式(1),只能取,可求得 故两个数中较大的数是。 第二试 A卷 一、解:设前后两个二位数分别为, 有;即 当△= 即,则时,方程有实数解 由于必为完全平方数,而完全平方数的未位数字仅可能为0,1,4,5,6,9,故仅可取25;此时,或 故所求四位数为2025或3025 二、(1)如图,据题设可知,DM∥BN,DM=BN,DN∥AM,DN=AM 故∠AMD=∠BND 因为M、N分别是Rt△AEP和Rt△BFP斜边的中点, 所以,EM=AM=DN,FN=BN=DM 又已知DE=DF,故△DEM≌△FDN (2)由上述三角形全等可知∠EMD=∠FND,则∠AME=∠BNF 而△AME、△BNF均为等腰三角形,所以,∠PAE=∠PBF 三、解:由已知有 ①; ②; ③; ④ 由式①解出 ⑤ 式⑤代入式②得 ⑥ 将式⑥代入③得 即 ⑦ 由式④得,代入式⑦得 由已知,故 若,则由式⑥可得,矛盾。故有 B卷 一、同(A卷)第一题的解答。 二、如图,分别取AP、BP的中点M、N。连结EM、DM、FN、DN。由D是AB的中点,则 DM∥BN,DM=BN,DN∥AM,DN=AM。故∠AMD=∠BND。 又因为M、N分别是Rt△AEP、Rt△BFP斜边的中点,所以, EM=AM=DN,FN=BN=DM。 因为DE=DF,则△DEM≌△FDN 故∠EMD=∠FND,从而,∠AME=∠BNF 而△AME、△BNF均为等腰三角形,故∠PAE=∠PBF 三、(1)如图,记AB=a,CD=b,AC=,并设△ABC的边AB上的高为,△ADC的边DC上的高为。则 = 仅当时等号成立。即在四边形ABCD中,当AC⊥AB,AC⊥CD时等号成立。 由已知可得 又由题设,可得 于是,,且这时AC⊥AB,AC⊥CD 因此,这样的四边形有如下4下: , 它们都是以AC为高的梯形或平行四边形。 (2)又由AB=,CD=,则 因此,这样的四边形的边长的平方和为 故当时,平方和最小,且为192 (C)卷 一、同(A卷)第三题的解答。 二、除图的形式不同(如图)外,解答同(B卷)第二题 三、同(B卷)第三题解答。 中国数学教育网 http://max.book118.com info@mathedu.cn 第 1 页 http://max.book118.com http://max.book118.com 5 页
全国初中数学竞赛试题及答案(2003年).doc
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