第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛
总决赛   少年三组一试  试题答案
填空(每题10分，共30分)
在的方格中有一个四边形，4个顶点在方格的格点上，则四边形的面积是      . 
答案：24.
理由：如下图：4个直角三角形的面积分别是3，1.5，6和7.5，中间的长方形的面积是6，所以. 
循环节长度为2的纯循环小数可以表示成。若，且小数部分，=      .
解：，
如果正整数n使得
++++=69，
则n为      .（其中表示不超过x的最大整数）
解：由x-1 [x]≤x（x是不超过x的最大整数），得
得-5 =69≤+
所以  47 n 51,   n=48,49,50,51.
经检验n=48或49.
正整数, 那么被3整除的余数是      .
答案：1
解答题(每题10分，共30分)
如图，设ABCD是正方形，P是CD边的中点，点Q在BC边上，且APQ=90°，AQ与BP相交于点T，則的值为多少？
答案：6：5
解：令AB=1，则DP=CP=。设CQ=x，BQ=1-x
由于三角形ADP、CQP、ABQ、APQ是直角三角形，则
AP2=AD2+DP2=1+
PQ2=CQ2+CP2= x2+
AQ2=AB2+BQ2= 1+（1-x））+ x2+
所以x=，
所以三角形ADP的面积为；
三角形CQP的面积为；
三角形ABQ的面积为；
三角形APQ的面积为；
根据三角形面积公式，則的值为6：5。
甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程，分别需要小时小时、小时。现在，甲三队工作100小时完成工程，则甲最多工作小时设甲乙丙分别工作时间是x, y, z小时, 则
，，则 
.
由题目中的限制，可知0≤x≤60, 0≤y≤60, 0≤z≤35, 由方程组得y=2004x, z=3x－100,代入到约束条件中，有
解这个不等式组，得35≤x≤45，或符合题目要求. 所以工程队甲最多工作小时，最小工作了小时.
所以,k=24.  
右图中，是梯形，面积是1。已知，，。问：（1）三角形ECD的面积是多少?（2）四边形的面积是多少？；
（2） .
解答或提示：设梯形的高为，则 故有
① .
又有
② .
由①, 可设，代入②，可得，则得和.
或者由三角形面积公式：，再由梯形，
即：，代入，得到三角形ECD的面积等于.
（2）设，则进一步可设，.即有：
，
.
所以，
.
连接EF，由三角形面积公式可知.用x、y和z分别代表三角形EHF、HCF和EBH的面积，由三角形面积公式，
，
用u和v分别代表三角形ECF和EBF的面积，由（1）和三角形面积公式，
.
则我们有
将前两个式子代入第三个等式，得到：
.
再将代入上式，得到，
.
则得到三角形EHF的面积是
，
同样可得三角形EGF的面积是
，
所以，灰色四边形的面积是

少年3组解答(简体).doc