直接证明--综合法
姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题
1 ．设m≠n，x=m4-m3n，y=n3m-n4，则x与y的大小关系为（    ）  
A．x y；	B．x=y；	C．x y；	D．x≠y。
2 ．的大小关系是(	) 
A．	B．		 
C．	D．随x的值的变化而变化 
3 ．（2008年上海市长宁区高三教学质量检测（理））对于恒成立,求的取值范围”提出了各自的解题思路.
甲说：“可视为变量，为常量来分析”.
乙说：“寻找与的关系，再作分析”.
丙说：“把字母单独放在一边，再作分析”.
参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数的取值范围是          ． 
4 ．
A．由结果追溯到产生原因的思维方法	B．由原因推导到结果的思维方法
C．由反例说明结果不成立的思维方法	D．由特例推导到一般的思维方法
5 ．（江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练（推理与证明））
6 ．（2008年福建高中新课标数学选修（1-2）），求证：．
7 ．
8 ．，求证：。
9 ．求证：
10．（福建省莆田四中08-09学年高三(理)）、、均为正数，
求证：。
11．（湛江一中数学新课标2-2检测试卷）。
12．（福建德化一中07-08学年上学期期末考试选修2-2），
（1）分别就判断m与n的大小关系，并由此猜想对于任意的，m与n的大小关系及取得等号的条件；
（2）类比第（1）小题的猜想，得出关于任意的相应的猜想，并证明这个猜想。
13．，为正数，且，。求证：。
14．（湖北省襄樊四中2010届高二文科数学《不等式》测试）
求证：（1）；（2）．
15．，求证：
16．。
17．（2008年7月山东省青岛市高二期末统考(文)）、、满足，．
（1）求证：关于的方程有一个正实根和一个负实根；
（2）证明：．
18．≤2，≤1．
19．,，
试比较M，N的大小：你能得出一个一般结论吗？
20．
21．（08届江苏省教育学会数学预测卷）
（1）；
（2）。
22．（08届江苏省海门中学高考前１５天适应性考试）设是正数，求证：；
23．（2008年江西南昌二中数学高考信息卷），求证；
24．（2008年广州市花都区高考解答题预测（理））a,b,m均为正实数，b a,
25．（高三数学）
求证：1＜a＋b＜．
26．（2007-2008浙江温州中学高二第一学期期末（文）），证明： 。
27．（08届吉林省吉林市第一学期期末(理)）设关于x的方程的两实根为x1、x2，方程的两实根为.
（1）若=1，求a、b的关系式；
（2）若
28．（08届博白中学高三数学8月月考试题（理科））
（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a≤2；
（2）当b＞1时，证明：对任意x∈［0，1］，| f（x）|≤1的充要条件是b－1≤a≤2；
29．（2008届湖南省株洲市二模（文））. 
（1）对于有两个不等的实根，且必有一个实根在内；
（2）若方程内的根为m，且成等差数列，设的对称轴方程，求证：
30．与的大小.
31．，求证 .
32．a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：
直接证明--综合法参考答案
1 ．2 ．A3 ．4 ．B
5 ．
 ，
又
．
6 ．，
．
又，，，
将以上三个不等式相加，得，
．
．
7 ．
＜                                            
=2－
＜2              
8 ．，
9 ．
设是上的任意两个实数，且，
因为，所以。所以在上是增函数。
由知      即.
10．、、均为正数   ∴
同理可得：，
当且仅当时，以上三式等号都成立
三式两边分别相加，并除以得：。
11．
12．时，m=n=1,当时，， 
故由此可以猜想：
任意的，有，当且仅当a=b时取得等号； 
（2）类比第（1）小题，对于任意的，猜想：
,当且仅当a=b=c时取得等号。 
证明如下：
对于，要证成立，
只需证： 
即证：
即证：   (*) 
∵对于，有
同理:, 
∴不等式（*）成立。
要使（*）的等号成立，必须，
故当a=b=c时等号成立。 
13．=
==
∴
14．
15．
方法二：排序不等式：不妨设，
根据排序不等式：
16．
要证 
只需证明 
即证 
而事实上，由a，b，c是全不相等的正实数
∴ 
∴ 
∴ 得证.
证法2：（综合法）
∵ a，b，c全不相等
∴ 与，与，与全不相等.
∴ 
三式相加得
∴ 
即 ．
17．，，
，
又，方程有一个正实根，一个负实根
（2），，
又，
18．
∵a＞0，b＞0，a3+b3=2，
∴=a3+b3++3ab2-8==3[
==≤0，
即 ≤23．
又∵，∴≤2．∵≤≤2，∴≤1．
19．
（1-a）(1-b)=1-a-b+ab≥1-a-b 当且仅当a、b中至少有1个为零时,等号成立   
∴(1-a)(1-b)(1-c) ≥(1-a-b)(1-c)=1-a-b-c+c(a+b) ≥1-a-b-c 当且仅当a、b、c中至少有2个为零时,等号成立 于是(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)≥1-a-b-c-d,  当且仅当a、b 、c、d  中至少有3个为零时,等号成立 ∴a、b、c、d至少有3个为0时,M=N,否则M N  ．
20．
21．，
∴
=
=8
∴
（2）∵
，
∴.
22．，∴， ，，三个同向正值不等式相乘得
23．在上增，
 即：
证二：分析法
。
24．1）不等式两边乘以同一个正数，不等式仍成立， 
b a,m 0,     
所以mb ma.   
（2）不等式两边加上同一个数，不等式仍成立，  
mb ma.    ab=ab,                    
所以ab+mb ab+ma. 即b(a+m) a(b+m)     
（3）不等式两边除以同一个正数，不等式仍成立， 
b(a+m) a(b+m),a(a+m) 0,   
25．＝c2－c，
所以a，b是方程x2－(1－c)x＋c2－c＝0的两个不等实根，
则△＝(1－c)2－4(c2－c)＞0，得－＜c＜1， 
而(c－a)(c－b)＝c2－(a＋b)c＋ab＞0，
即c2－(1－c)c＋c2－c＞0，得c＜0，或c＞， 
所以－＜c＜0，即1＜a＋b＜． 
26．－＝
∴ 
27．有两个不等实根为α、β，
由
（2）证明：，
则 
综上所述， 
28．
∵f（x）＝，
∴≤1，∵a＞0，b＞0，∴a≤2．
（Ⅱ）证明：必要性
对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1－1≤f（x），据此可以推出－1≤f（1），
即a－b≥－1，∴a≥b－1；
对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1f（x）≤1，因为b＞1，可以推出f（

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