第二章 拉普拉斯变换的数学方法                拉普拉斯变换简称拉氏变换，是分析和研究线性系统的有力数学工具。通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不仅运算方便，使系统大为简化，而且在经典控制论范畴，直接在频域中研究系统的动态特性，对系统进行分析、综合和校正，具有广泛的实际意义。   2.1  复数和复变函数 2.2  拉氏变换 2..2.2  典型时间函数的拉氏变换 max.book118.com  拉氏变换的性质 2.3  拉氏反变换及其数学方法 max.book118.com  拉氏反变换的数学方法 2.6  用拉式变换解常微分方程 例4：已知： 求F(s) 解：用到线性性质、复数域位移定理 例5：已知： 求原函数 解：根据延时定理 max.book118.com．拉氏反变换    当已知 f(t) 的拉氏变换F(s),欲求原函数 f(t) 时，称作拉氏反变换，记作： L-1[ f(s) ],并定义为：  在控制理论中，常遇到的象函数是 s 的有理分式  为了将F(s)写成部分分式，首先将F(s)的分母因式分解，则有  式中P1，P2 ，…，Pn ，是A(s)=0的根，称为F(s)的极点，按照这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。 1．F(s)无重极点的情况 F(s)总能展开成下面的部分分式之和： 式中K1，K2.…Kn为待定系数。 依次推得：  则 注意：当F(s)的某个极点等于零，或为共轭复数时，同样可用上述方法。        由于f(t)是一个实函数，若 p1、p2 是一对共轭复数极点，那么相应的系数 k1 和 k2 也是共轭复数，只要求出k1和k2中的一个值，另一值即可得。 包含共轭复数极点的情况： 例2-7 求下面象函数的拉式变换 解： 式中，A1、A2可按下式求解，其余系数求解方法同前述方法。        如果F(s)有一对共轭复数极点p1、p2，其余极点为各不相同的实数极点时，还可以用如下方法化为部分分式和的形式。 即： 解： 1．F(s)有重极点的情况 ∵ ∴ 又有： ∴        用拉氏变换求解线性常系数微分方程是工程实践中行之有效的简单方法。采用下列步骤： 1．考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换，将时域的微分方程变换为s域的代数方程； 2．求解代数方程，得到微分方程在s域的解。 3．对s域的解作拉氏反变换，得到时域的解。 例2-9 求图示机械系统，在单位脉冲力 质量m的运动规律。 作用下， 解：系统的微分方程为： 对方称进行拉氏变换得： 初始条件： * * 3、复变函数 2.1．拉氏变换定义    有时间函数 f(t),t≥0，则 f(t) 的拉氏变换记作：L[ f(t) ] 或F(s),并定义为：     S为复数 1．单位阶跃函数 由拉氏变换的定义，式（2-1） 2．单位脉冲函数 单位脉冲函数δ(t)定义为： 且： 单位脉冲函数有如下特性： f(0)是 t =0时刻 f(t)的值。 由式（2-1）拉氏变换的定义 δ(t)的拉氏变换为： 或定义为： 其幅值和作用时间的乘积（面积）为1。 3．单位斜坡（速度）函数 图2-7单位斜坡函数 4．指数函数 e at 图2-8 指数函数 5．正弦函数 sinωt 7．幂函数 t n 6．余弦函数 cosωt 令： 则： 又有： 常用函数的拉氏变换对照表 8 7 6 5 4 t 3 1(t)  2  1 1 F(s) f(t)  1．线形性质 有常数a1,a2，函数f1(t),f2(t), 2．实数域的位移定理      f(t)的拉氏变换为F(s)，对任一正数a，f(t-a)为延时时间为a的函数f(t)，如图所示，当t a时f(t-a)=0，则有： 或： 例1：求图2-10所示方波拉氏变换。 解：方波可表示为： 图2-10  方波 例2：求图示三角波拉氏变换。 解： 由以上分析可得： 对上式进行拉氏变换可得： 3．复数域的位移定理 4．微分定理 f(t)的拉氏变换为F(s)，则： 式中 f(0+)为由正向使t→0时的 f(t) 的值。 证明： 式中 f[i](0+) , (i=0,1,2…n)表示 f(t) 的 i 阶导数在 t 从正向趋近于0时的取值。 当初值条件为零时，即 f(0)=f’(0)=f”(0)=…=f n-1(0)=0,则有： 可依次推得 f(t) 的的各阶导数的拉氏变换： 5．积分定理 f(t)的拉氏变换为F(s)，则： 当初始条件为零时：  证明： 由定义： 由分部积分公式，令： 上式 依次类推： 6．初值定理 证明: 由微分定理: 7．终值定理     若函数 f(t) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，并且除了在原点外，sF(s) 在包含jω轴右s半平面内是解析的（这意味着他t→∞时f(t)趋于一个确定的值）。   且 存在  即： 则函数 f(t) 的终值为： 证明：由微分定理：  令s→0，对上式两边求极限 又有： （2-15） （2-16） 比较式（2-15）和（2-16）得 8、相似定理： 9、卷积定理： 
第二章控制工程.ppt