在量子力學裏，動量算符是一種http://max.book118.com/wiki/%E7%AE%97%E7%AC%A6算符，可以用來計算一個或多個粒子的http://max.book118.com/wiki/%E5%8B%95%E9%87%8F動量，用方程式表達，； 其中， 是動量算符， 是約化普朗克常數， 是虛數單位， 是位置。給予一個粒子的http://max.book118.com/wiki/%E6%B3%A2%E5%87%BD%E6%95%B8波函數 ，我們可以計算這粒子的動量的期望值：； 其中， 是時間。目录[javascript:toggleToc()显示]http://max.book118.com/wiki/%E5%8B%95%E9%87%8F%E7%AE%97%E7%AC%A6http://max.book118.com/wiki/%E5%8B%95%E9%87%8F%E7%AE%97%E7%AC%A6http://max.book118.com/wiki/%E5%8B%95%E9%87%8F%E7%AE%97%E7%AC%A6http://max.book118.com/wiki/%E5%8B%95%E9%87%8F%E7%AE%97%E7%AC%A6http://max.book118.com/wiki/%E5%8B%95%E9%87%8F%E7%AE%97%E7%AC%A6http://max.book118.com/wiki/%E5%8B%95%E9%87%8F%E7%AE%97%E7%AC%A6http://max.book118.com/wiki/%E5%8B%95%E9%87%8F%E7%AE%97%E7%AC%A6[http://max.book118.com/w/index.php?title=%E5%8B%95%E9%87%8F%E7%AE%97%E7%AC%A6&action=edit§ion=1编辑] 導引 1一個非相對論性的http://max.book118.com/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E7%B2%92%E5%AD%90自由粒子的http://max.book118.com/wiki/%E8%96%9B%E4%B8%81%E6%A0%BC%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F薛丁格方程式為。 其中， 是約化普朗克常數， 是粒子的波函數， 是粒子的位置， 是時間。這薛丁格方程式的解答是一個http://max.book118.com/wiki/%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E6%B3%A2平面波：， 其中， 是波數， 是角頻率。根據德布羅意假說，自由粒子的波數與動量的關係是。 可是，。 因此，。 所以，我們可以認定動量算符為。 [http://max.book118.com/w/index.php?title=%E5%8B%95%E9%87%8F%E7%AE%97%E7%AC%A6&action=edit§ion=2编辑] 導引 2在經典力學裏，動量是質量乘以位置隨時間的全導數：。 在量子力學裏，我們認為這句話也是正確地。可是，由於粒子的位置不是明確的，而是http://max.book118.com/wiki/%E6%A9%9F%E7%8E%87%E6%80%A7機率性的。所以，我們猜想這句話是以期望值的方式來實現：。 假設這是正確的，那麼，用積分方程式來表達，； 其中， 是http://max.book118.com/wiki/%E6%B3%A2%E5%87%BD%E6%95%B8波函數。取微分於積分號下，。 由於 只是一個位置的統計參數，不相依於時間，。(1) http://max.book118.com/wiki/%E5%90%AB%E6%99%82%E8%96%9B%E4%B8%81%E6%A0%BC%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F含時薛丁格方程式為； 其中， 是位勢。其http://max.book118.com/wiki/%E5%85%B1%E8%BD%AD%E5%A4%8D%E6%95%B0共軛複數為。 代入方程式 (1)：。 使用分部積分法，，(2) 。(3) 方程式 (2) 與 (3) 的減差是。 所以，。 對於任意波函數 ，這方程式都成立。因此，我們可以認定動量算符 為 。[http://max.book118.com/w/index.php?title=%E5%8B%95%E9%87%8F%E7%AE%97%E7%AC%A6&action=edit§ion=3编辑] 厄米算符在量子力學裏，每一個http://max.book118.com/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%80%E5%AF%9F%E9%87%8F可觀察量都能用http://max.book118.com/wiki/%E5%8E%84%E7%B1%B3%E7%AE%97%E7%AC%A6厄米算符代表。動量是一個可觀察量，所以，動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點：動量的期望值是。 可是，從http://max.book118.com/wiki/%E4%BC%B4%E9%9A%A8%E7%AE%97%E7%AC%A6伴隨算符的定義， 與其伴隨算符 的關係是。 所以， 。對於任意量子態 ，這公式都成立。所以，動量算符是一個厄米算符。[http://max.book118.com/w/index.php?title=%E5%8B%95%E9%87%8F%E7%AE%97%E7%AC%A6&action=edit§ion=4编辑] 本徵值與本徵函數假設，動量算符 的本徵值為 的本徵函數是 ：。 這方程式的一般解為，； 其中， 是常數。假若， 的定義域是一個有限空間，從 到 ，那麼，我們可以將 http://max.book118.com/wiki/%E6%AD%B8%E4%B8%80%E5%8C%96歸一化：。 的值是 。動量算符的本徵函數歸一化為 。假若， 的定義域是無窮大空間，則 不是一個http://max.book118.com/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%8F%AF%E7%A9%8D%E5%87%BD%E6%95%B8平方可積函數 (square integrable function) ：。 動量算符的本徵函數不存在於http://max.book118.com/wiki/%E5%B8%8C%E7%88%BE%E4%BC%AF%E7%89%B9%E7%A9%BA%E9%96%93希爾伯特空間內。我們不能直接地積分 於無窮大空間，來使 歸一化。換另一種方法，設定 。那麼，； 其中， 是http://max.book118.com/wiki/%E7%8B%84%E6%8B%89%E5%85%8B_Delta_%E5%87%BD%E6%95%B8狄拉克 Delta 函數。這性質不是普通的http://max.book118.com/wiki/%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E6%AD%B8%E4%B8%80%E6%80%A7正交歸一性。稱這性質為狄拉克正交歸一性。因為這性質，位置算符的本
厄米算符.docx