(1) 机械平移系统在所有初始条件均为零的情况下，对上式进行拉氏变换，得(2) 机械旋转系统   包含定轴旋转的机械系统用途极其广泛。其建模方法与平移系统非常相似。只是这里将质量、弹簧、阻尼分别变成转动惯量、扭转弹簧、旋转阻尼。 图3.3所示为一机械旋转系统，旋转体通过柔性轴（用扭转弹簧 表示）与齿轮连接。旋转体在粘性介质中旋转，因而承受与旋转速度成正比的阻尼力矩。 设齿轮转角 为系统输入量，旋转体转角 为系统输出量，据此建立系统的运动微分方程（忽略轴承上的摩擦）。扭转弹簧左、右端的转角分别为 、 ，设它加给旋转体的扭矩为 （当 时，弹簧的扭矩为零），则 ；旋转体上除了受弹簧的扭矩外，也受阻尼扭矩 作用，因而有扭矩平衡方程 和旋转阻尼特性方程?  由以上三式整理可得机械旋转系统运动微分方程 max.book118.com 机械系统 在控制系统中，经常要将旋转运动变换成直线运动。例如用电动机和丝杠螺母装置可控制工作台沿直线运动，见图3.55，这时可以用一等效惯量直接连接到驱动电动机的简单系统来表示。工作台等直线运动部件的质量 ，按等功原理可折算到电动机轴上，如图3.55b所示，其等效惯量为 （3.96）——丝杠螺距，定义为丝杠每转一周工作台移动的直线距离。? 此外，在控制系统中常用齿轮传动装置来改变转矩、转速和角位移，使系统的能量从一处传递到系统的另一处。图3.56a表示一对啮合的齿轮副，在理想情况下，惯量和摩擦均忽略不计。显然，齿轮副中转矩 和 ，角位移 和 ，角速度 和 ，齿数和，分度圆半径 和 存在如下关系：   事实上，实际的齿轮副是具有惯量的，且啮合齿轮之间和支承中存在粘性阻尼，这些常常是不能忽略的。图3.56b是齿轮副的等效表示法，它把粘性阻尼、惯量都当成集中参数。图中符号的意义是： ， ——角位移；， ——齿轮传递转矩 ， ——齿轮（包括轴）惯量；， ——齿数 ， ——粘性阻尼系数 齿轮2的转矩方程可写成 (3.98) 齿轮1的转矩方程为?（3.99）式中——作用转矩，即齿轮1的输入转矩。 利用式（3.97）中 可将式（3.98）变成?(3.100) 式（3.100）表明，可以把惯量、粘性阻尼、转矩、转速和角位移从齿轮副的一侧折算到另一侧。因此，可以得出齿轮2折算到齿轮1的下列各量：惯量 ；粘性阻尼系数 ；转矩 ?；角位移；转速?  如果考虑扭转弹性变形效应，则由齿轮2折算到齿轮1时，刚度系数也应乘以 。即，若齿轮2上的扭转刚度系数为 ，齿轮1上的扭转刚度系数为 ，则折算后，齿轮1上的等效刚度 为?（3.101）?现将式（3.100）代入式（3.99），可得?（3.102）式中， 为齿轮1上的等效惯量；? 为齿轮1上的等效粘性阻尼系数。1.机床进给传动链 图3.57所示为机床进给传动链，伺服电动机通过二级减速齿轮及丝杠螺母驱动工作台。这种传动链常用于工作台的位置伺服控制系统中。为研究机床工作台的定位精度和机床的加工精度，必须建立机床进给传动链的数学模型，以了解其动态性能对加工精度的影响。 图中， 、 、 ?分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轴上的转动惯量； 、 、 分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轴上的粘性阻尼系数； 、 、 分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轴上的刚度系数； 为工作台等移动部件的质量； 为工作台移动时的粘性阻尼系数； 为丝杠螺母副的刚度系数； 为作用转矩。 下面推导以伺服电动机的转角 为输入量，工作台的位移 为输出量时该进给传动链的传递函数。为了推导其传递函数，首先可将其抽象为图3.57所示的一个简单的动力学系统模型，抽象的过程就是质量、惯量、粘性阻尼系数、刚度系数等的折算过程。当负载为零时，I轴的转矩平衡方程式为 (3.103)式中——伺服电动机输入至I轴的转角； ——工作台位移 折算到I轴上的等效当量转角，且为?(3.104)其中， ； ；L为丝杠螺距。 为I轴在转矩作用下的相对转角； 、 、 分别为工作台及各轴折算到I轴上的等效总惯量、等效总粘性阻尼系数和等效总刚度系数，其值可分别按下式计算 （3.105） （3.106） （3.107） 将式（3.104）代入式（3.103），可得 （3.108）对式（3.108）两边取拉氏变换，整理后可得系统传递函数为 （3.109）由式（3.109）可见，这是一个二阶系统，由比例环节 和振荡环节组成。
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