* 第  九  章 §9-1   应用虚功原理求刚体体系的位移 一、结构位移计算概述 计算位移的目的：（1）刚度验算，（2）超静定结构分析的基础 产生位移的原因：（1）荷载  （2）温度变化、材料胀缩 （3）支座沉降、制造误差 以上都是绝对位移 以上都是相对位移 广义位移 位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便 二、虚功原理  1、实功与虚功  实功是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11，T22，               实功恒为正。  虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12，          如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。 P1 P2 Δ11 Δ22 Δ12 荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到Δ11，对线弹性体系P与Δ成正比。 Δ P Δ11 P1 元功： 再加P2， P2在自身引起的位移Δ22上作的功为： 在Δ12过程中，P1的值不变， Δ12与P1无关 dT O A B ΔKj 位移发生的位置 产生位移的原因 2、广义力与广义位移          作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力S。与位移有关的因素，称为广义位移Δ。         广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：T=SΔ 1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量 P Δ m β 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β。 3）若广义力是等值、反向的一对力P P P t t A B ΔB ΔA 这里Δ是与广义力相应的广义位移。 表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。 4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m A B Δ m m ?A ?B 这里Δ是与广义力相应的广义位移。 表示AB两截面的相对转角。 a b A B C P=1 A B C a b 三、虚力原理 已知 求 虚功方程 设虚力状态 小结： （1）形式是虚功方程，实质是几何方程； （2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相           应的支座反力。构造一个平衡力系； （3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。 单位荷载其虚功正好等于拟求位移。 ——虚设力系求刚体体系位移 四、支座位移时静定结构的位移计算 （1）C点的竖向位移 （2）杆CD的转角 A B C D A B C D 1 A B C D 1 已知位移 求 :     所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致。 求解步骤 （1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力； （3）解方程得 定出方向。 （2）建立虚功方程 B A B A 1 A B ? ? 虚功方程： B A ? B A 1 ? A     例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角d?，试求A点在i－i方向的位移     。       例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位移d?，试求A点在i－i方向的位移     。       例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d? 试求A点在ｉ－ｉ方向的位移      。 B A B A ? B A ? 1 由平衡条件： 虚功方程：       当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移?，即是三者的叠加，有： §9-2  结构位移计算的一般公式 ——变形体的位移计算 推导位移计算公式的两种途径{ 由变形体虚功原理来推导； 由刚体虚功原理来推导－局部到整体。 一、局部变形时的位移计算公式 基本思路： ds R ? ds ds R ds （1）三种变形： 在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形所引起的位移。 ds R ? ds ds R ds ? 1 （2）微段两端相对位移： 续基本思路：设 			   微段的变形以截面B左右两端的相对位移的形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。 （3）应用刚体虚功原理求位移d?－即前例的结论。 或 二、结构位移计算的一般公式 ? 一根杆件各个微段变形引起的位移总和： 如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为： 若结构的支座还有位移，则总的位移为： 适用范围与特点： 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。 1） 适于小变形，可用叠加原理。 位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。 ds ds K                  1 ds ds ds ds ds ds ds 外虚功： 内虚功： 变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi ，等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We 。即： 三、位移计算的一般步骤: K                  1 实际变形状态 虚力状态 (1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； (2) 求虚力状态下的内力及反力 表达式; (3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。 §9-3  荷载作用下的位移计算 研究对象：静定结构、线性弹性材料。 重点在于解决荷载作用下应变                 的表达式。 一、计算步骤 （1）在荷载作用下建立                  的方程，可经由荷载?内力?应力?应变    过程推导应变表达式。 （2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知 k--为截面形状系数 1.2 (3) 荷载作用下的位移计算公式 二、各类结构的位移计算公式 （1）梁与刚架 （2）桁架 （3）拱 q A C B (a) 实际状态 P=1 A C B (b) 虚设状态 AC段 CB段 例1. 试计算悬臂梁A点的竖向位移 。 1）列出两种状态的内力方程： AC段 CB段 2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算 AC段 在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。 CB段 CB段 设为矩形截面 k=1.2 * 

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